【NOIP模拟】 (11.6) T2 序列操作

序列操作

题
4000
目描述：
       一开始有 n 个非负整数 h[i] (1<=i<=n) ，接下来会进行 m 次操作，第 i 次操作给出一个数 c[i] ，要求你选出 c[i] 个大于0的数并将它们减去1。
       问最多可以进行多少轮操作后无法操作(即没有 c[i] 个大于0的数)。

输入格式：
       第一行两个数表示 n 和 m。
       第二行 n 个数描述 h[i]。
       第三行 m 个数描述c[i]。

输出格式：
       一行表示答案，即最多可以进行多少轮操作后无法操作。

数据范围：
       对于10%的是数据满足：1<=n,m<=5。
       对于另外20%的数据满足：1<=n<=8;1<=h[i]<=7。
       对于50%的数据满足：1<=n,m<=1000。
       对于80%的数据满足：1<=n,m<=100000。
       对于100%的数据满足：1<=n,m<=1000000 。

解析：
       有三种主流做法：平衡树、二分+贪心、权值线段树。
       先说题解方法二分+贪心(其实很慢...)。做法就是二分答案，然后用贪心验证。说到这个题的贪心，几位大佬都没法证明它的正确性(读者有兴趣可以试着证一下)。具体的贪心就是取最开始前 c[i] 个大的(不管后来是不是前 c[i] 大)，如果不够，那么就往后面取。就是这样，我只能说看出来贪心也是一种DP，有时候你知道这样做是对的，但你就是无法证明它的正确性......

       然后说一下权值线段树。其实就是维护整个序列是单调递增的。举个例子：

     


       假设此时c=5，如果直接取前5大的数减去1，那么整个序列就不满足单增，所以对于3有多个，我们就只能取前两个3减1，才能保证序列的单调性。如图：

      


       于是就变成了：

        


       这样整个序列就仍然保持单调性了。具体细节详见代码。

       至于平衡树，作为一个NOIP蒟蒻，对于NOI的算法当然就无能为力了，不过还是贴一位大佬的代码(仅供欣赏)。

代码(二分+贪心)：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max=1001000;
int n,m;
long long h[Max],c[Max];
long long sum[Max],num[Max];

inline int get_int()
{
int x=0,f=1;
char c;
for(c=getchar();(!isdigit(c))&&(c!='-');c=getchar());
if(c=='-') {f=-1;c=getchar();}
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
return x*f;
}

inline bool comp(const int &a,const int &b)
{
return a>b;
}

inline int check(int k)
{
long long s=0;
memset(num,0,sizeof(num));
memset(sum,0,sizeof(sum));
for(int i=1;i<=k;i++)
{
if(c[i]>n) return 0;
num[c[i]]++;
s+=c[i];
}
for(int i=n;i>=1;i--) sum[i]=num[i]+sum[i+1];
long long ss=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ss+=min(sum[i],h[i]);
if(h[i]<sum[i]) sum[i+1]+=sum[i]-h[i];
}
if(ss==s) return 1;
else return 0;
}

int main()
{
//freopen("sequence.in","r",stdin);
//freopen("sequence.out","w",stdout);

n=get_int();
m=get_int();
for(int i=1;i<=n;i++) h[i]=get_int();
for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=get_int();
sort(h+1,h+n+1,comp);
int l=0,r=m,mid;
while(l<=r)
{
mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) l=mid+1;
else r=mid-1;
}

cout<<l-1<<"\n";
return 0;
}

代码(权值线段树)：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Max=1001000;
int n,m;
int h[Max];
struct shu{int maxx,minn,num;};
shu tree[Max*4];

inline int get_int()
{
int x=0,f=1;
char c;
for(c=getchar();(!isdigit(c))&&(c!='-');c=getchar());
if(c=='-') {f=-1;c=getchar();}
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
return x*f;
}

inline void update(int root)
{
tree[root].maxx=max(tree[root<<1].maxx,tree[root<<1|1].maxx);
tree[root].minn=min(tree[root<<1].minn,tree[root<<1|1].minn);
}

inline int modify(int root,int num)
{
tree[root].minn-=num;
tree[root].maxx-=num;
tree[root].num+=num;
}

inline void pushdown(int root)
{
if(tree[root].num!=0)
{
modify(root<<1,tree[root].num);
modify(root<<1|1,tree[root].num);
tree[root].num=0;
}
}

inline void build(int root,int l,int r)   //建树
{
if(l==r)
{
tree[root].minn=tree[root].maxx=h[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(root<<1,l,mid);
build(root<<1|1,mid+1,r);
update(root);
}

inline int Q(int root,int l,int r,int pos)
{
if(l==r) return tree[root].minn;
pushdown(root);
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid) return Q(root<<1,l,mid,pos);
else return Q(root<<1|1,mid+1,r,pos);
}

inline int Find(int root,int l,int r,int num)   //寻找
{
if(l==r) return l;
pushdown(root);
int mid=(l+r)>>1;
if(tree[root<<1].maxx>=num) return Find(root<<1,l,mid,num);
else return Find(root<<1|1,mid+1,r,num);
}

inline void change(int root,int l,int r,int L,int R)  //区间修改
{
if(L<=l&&R>=r)
{
modify(root,1);
return;
}
pushdown(root);
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid) change(root<<1,l,mid,L,R);
if(R>mid) change(root<<1|1,mid+1,r,L,R);
update(root);
}

int main()
{
// freopen("sequence.in","r",stdin);
//freopen("sequence.out","w",stdout);

n=get_int();
m=get_int();
for(register int i=1;i<=n;i++) h[i]=get_int();
sort(h+1,h+n+1);
build(1,1,n);
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
int c=get_int(),pos=n-c+1,f1,f2;  //pos即为第c大的数的位置
int cur=Q(1,1,n,pos);   // 寻找pos的值
if(cur==0)    //若cur为0，说明已经找不到c个数满足条件，于是答案就是i-1
{
cout<<i-1<<"\n";
return 0;
}
f1=Find(1,1,n,cur);    //寻找值为cur的最靠左的点
if(cur!=tree[1].maxx) f2=Find(1,1,n,cur+1);//cur不是最大值说明右侧还有数，则寻找值cur+最靠左的点
else f2=n+1;
c-=(n-f2+1);
if(f2!=n+1) change(1,1,n,f2,n);    //区间修改
change(1,1,n,f1,f1+c-1);     //区间修改
}

cout<<m<<"\n";
return 0;
}

代码(平衡树)：

/*
created by duzhenyu
*/
#include<bits/stdc++.h>
typedef unsigned int uint;
using namespace std;
inline int read(){
char ch=getchar();int i=0,f=1;
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){i=(i<<1)+(i<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return i*f;
}
inline uint unit(){
static uint state0=399989;
state0^=(state0<<13);
state0^=(state0>>17);
state0^=(state0<<5);
return state0;
}
const int Maxn=1e6+50;
int n,m,a[Maxn];
struct node{
int val,mn,mx,sze,tag;
node *lc,*rc;
uint pri;
inline void upt();inline void add(int t);inline void pushdown();
}Pool[Maxn],*pool=Pool,*null=Pool,*rt=null;
typedef pair<node*,node*> pii;
inline void node::upt(){
sze=lc->sze+rc->sze+1;
mn=val;mx=val;
if(lc!=null)mn=min(mn,lc->mn),mx=max(mx,lc->mx);
if(rc!=null)mn=min(mn,rc->mn),mx=max(mx,rc->mx);
}
inline void node::add(int t){
tag+=t;
val+=t;
mn+=t;
mx+=t;
}
inline void node::pushdown(){
if(!tag)return;
if(lc!=null)lc->add(tag);
if(rc!=null)rc->add(tag);
tag=0;
}
inline node* newnode(int v){
++pool;
pool->lc=pool->rc=null;
pool->mn=v;pool->mx=v;pool->val=v;
pool->sze=1;pool->pri=unit();
return pool;
}
inline node* merge(node *x,node *y){
if(x==null)return y;
if(y==null)return x;
if(x->pri>y->pri){
x->pushdown();
x->rc=merge(x->rc,y);
x->upt();
return x;
}else{
y->pushdown();
y->lc=merge(x,y->lc);
y->upt();
return y;
}
}
inline pii split_sze(node *now,int sz){
if(now==null)return make_pair(null,null);
now->pushdown();
if(now->lc->sze>=sz){
pii tr1=split_sze(now->lc,sz);
now->lc=tr1.second;now->upt();
return make_pair(tr1.first,now);
}else{
pii tr1=split_sze(now->rc,sz-now->lc->sze-1);
now->rc=tr1.first;now->upt();
return make_pair(now,tr1.second);
}
}
inline pii split_val(node *now,int v){
if(now==null)return make_pair(null,null);
now->pushdown();
if(now->val<=v){
pii tr1=split_val(now->rc,v);
now->rc=tr1.first;now->upt();
return make_pair(now,tr1.second);
}else{
pii tr1=split_val(now->lc,v);
now->lc=tr1.second;now->upt();
return make_pair(tr1.first,now);
}
}
int main(){
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read();}
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)if(a[i])rt=merge(rt,newnode(a[i]));
for(int i=1;i<=m;i++){
int c=read();
if(rt->sze<c){
printf("%d\n",i-1);
return 0;
};
if(!c)continue;
pii tr1=split_sze(rt,rt->sze-c);
if(tr1.first==null||tr1.first->mx<tr1.second->mn){
tr1.second->add(-1);
rt=merge(tr1.first,tr1.second);
if(rt->mn==0)rt=split_val(rt,0).second;
}else{
pii tr2=split_val(tr1.second,tr1.second->mn);
if(tr2.second!=null)tr2.second->add(-1),c-=tr2.second->sze;
pii tr3=split_val(tr1.first,tr1.first->mx-1);
tr3.second=merge(tr3.second,tr2.first);
pii tr4=split_sze(tr3.second,c);
tr4.first->add(-1);
rt=merge(tr3.first,merge(tr4.first,merge(tr4.second,tr2.second)));
if(rt->mn==0)rt=split_val(rt,0).second;
}
}
printf("%d\n",m);
}