[置顶] 记录一些 trivial 组合数学相关

1.Sperner Theorem

设A为n元集，A1,A2,...,Am为A的子集且两两互不包含，则m的最大值为(n[n/2])

proof:

lemma: ∑mi=11(n|Ai|)≤1

proof of lemma:

It is equivalent to ∑mi=1|Ai|!(n−|Ai|)!≤n!

On the one hand, A中全排列有n!个

On the other hand, for eachAi，做A中全排列如下：

x1x2...x|Ai|y1y2...yn−|Ai|

其中x1x2...x|Ai|是Ai中元素的全排列。

y1y2...yn−|Ai|是补集的全排列。

注意到，当i≠j时，对应的全排列不同。（否则两个子集有包含关系）

由lemma： m(n[n/2])≤∑mi=11(n|Ai|)≤1，得证。

2.Kummer Theorem

n=(nknk−1...n0)p

m=(mkmk−1...m0)p

n−m=(dkdk−1...d0)p

vp((nm)) equals to the aomunt of carry-bit: L

when adding (n-m) and m.

proof:

vp(n!)=∑∞l=1[npl]=n1+n2(1+p)+...+nk(1+p2+...+pk−1)=n−(n0+n1+...+nk)p−1

Thus vp((nm))=vp(n!)−vp((n−m)!)−vp(m!)=∑ki=0(mi+di−ni)p−1=L

一个有趣的结论：lcm((n0),(n1),...,(nn))=lcm(1,2,...,n+1)n+1

src: https://arxiv.org/pdf/0906.2295v2.pdf

3.Lucas Theorem

n=(nknk−1...n0)p

m=(mkmk−1...m0)p

(nm)≡∏ki=0(nimi)(modp)

proof:

算两次，首先考察(1+x)n，xm系数为(nm)=LHS.

然后，(1+x)n=(1+x)∑j=kj=0njpj≡∏j=kj=0(1+xpj)nj

RHS=[xm]∏j=kj=0(1+xpj)nj