01背包问题

问题描述

　　给定N个物品,每个物品有一个重量W和一个价值V.你有一个能装M重量的背包.问怎么装使得所装价值最大.每个物品只有一个.

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示物品的个数和背包能装重量。

　　以后N行每行两个数Wi和Vi,表示物品的重量和价值

输出格式

　　输出1行，包含一个整数，表示最大价值。

样例输入

3 5

2 3

3 5

4 7

样例输出

8

数据规模和约定
　　1<=N<=200,M<=5000.

方法1：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int main()
{
int n,c;
cin>>n>>c;
/*这里要注意数组申请空间是要多申请一个
0号位赋值为0，这是为了在递推过程中f[][1]或f[1][]的值可正常推出
*/
int *weight=new int[n+1];//重量
int *value=new int[n+1]; //价值

int **f=new int*[n+1];// f[i][j]表示在背包容量为j的情况下， 前i件宝贝的最大价值
for(int i=0; i<=n; i++)
{
f[i]=new int[c+1];
}

for(int i=0; i<=n; i++)
f[i][0]=0;
for(int i=0; i<=c; i++)
f[0][i]=0;

for(int i=1; i<=n; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}

/*
| 0                              i=0 or w=0
f[i,w]=| f[i-1,w]                       wi>w
| max(vi+f[i-1,w-wi],f[i-1,w])   i>0 and w>=wi
*/

for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=c; j++)
{
if(j<weight[i]) //背包装不下第i个物品，f[][]为前i-1件物品的最大价值
f[i][j]=f[i-1][j];
else            //背包可以装下第i个物品，如果放比不放价值大，则放
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
}
}
cout<<f
[c]<<endl;
return 0;
}
//这种方法空间利用率不高！！！

方法2：（用一维数组实现）

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int main()
{
int n;//物品个数
int c;//背包容量

cin>>n>>c;
int *weight=new int
;//重量
int *value=new int
; //价值

for(int i=0; i<n; i++)
{
cin>>weight[i]>>value[i];
}

//数组多申请一个元素，容量从0~C，
int dp[c+1];
memset(dp,0,sizeof(dp));

for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=c;j>0;j--) //j为背包容量,其中容量为0时，价值势必为0，所以更新dp[]时，不用循环dp[0]
{
if(j>=weight[i])
dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
}
}

cout<<dp[c]<<endl;
return 0;
}

其中代码的第24~31行可以简化，如下：

for(int i=0; i<n; i++)
{
for(int j=c; j>=weight[i]; j--) //j为背包容量,其中容量为0时，价值势必为0，所以更新dp[]时，不用循环dp[0]
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
}
}