动态规划专栏（3）-背包问题（1）

前言：

动态规划由于题目的难易、类型，被分成四大类型：树形动态规划、区间形动态规划、背包形动态规划和线性动态规划四大类，而其中最具代表性的非背包莫属，他具有各种变形，以下的这类背包文章会告诉你，背包如何去解。

(1)、0/1背包

                                 旅行者的背包（pack.Pas）

题目描述

一个旅行者有一个最多能装m公斤物品的背包，现在有n件物品，它们的重量分别是w1，w2,…，wn，它们的价值分别为c1,c2,…，cn。若
4000
每件物品只有一件，求旅行者能获得的最大总价值。

输入

第一行：两个整数，m（背包容量，m<=200）和n（物品数量，n<=30）。

第二~n+1行：每行两个整数wi，ci，表示每个物品的重量和价值。

输出

一个数据，表示最大总价值。

 

思想：有一些人，会以为这种题目是贪心，他的理由是：性价比嘛！每次拿最大！不过只要性价比最优的那组在整一个方案里并不是最优的，那么贪心就不能成立。然后有些人会果断选分治，理由：条件明确。在这里，我承认分治没有错，那么，既然是一个正确算法，我就给大家理一理思路。

分治：

原问题：重量为M的背包价值为V，正好可以装下

子问题1：重量为M-w[i]的背包价值为V+v[i]，正好可以装下（m≥w[i]）

子问题2：重量为M-w[i]的背包价值为V，正好可以装下（m≥w[i]）

基本到底情况：if m=0返回（T）

              If v=0
返回（F）

最后求出max{M}就行了。

但是我们发现，可以把参数放进f[][]更加节约，f[i,j]代表重量为I，价值为J的方案的最优策略，而每一种物品最多只能选一个，有这些特征的动态规划叫做01背包。于是，一个二维的动态规划就这么推断出来了。

公式

   F[i,j]:=max{f[i,j],f[i-w[i],v[j]+j]};//不取w[i]的价值

为了更好的理解二维的模式，我们来列表：

假设容量为4，每一个物品都是1,1

	0	1	2	3	4(w[i])
0	1	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0
2	0	0	1	2	0
3	0	0	0	3	0
4(v[i])	0	0	0	0	4（答案）

 

（1.1）一维0/1背包

从上面我们可以发现一个对空间上的优化，我们不妨去掉价值，加入答案之中去，

最简化公式：

F[j]:=max{f[j],f[j-w[i]]+v[i]};

这样可以大大减少了对空间的要求。

不过值得注意的是，重量循环枚举一定要downto，否则会有后效性（也就是说，就变成了后面要讲的完全背包，更新了不变的值）

（1.2）变形-0/1背包

                  装箱问题（question.pas）

题目描述

有一个箱子容量为v（正整数，0<=v<=20000),同时有n个物品（0<n<=30），每个物品有一个体积（正整数）。

要求从n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。

 

输入

箱子的容量v

物品数n

接下来n行，分别表示这n个物品的体积

 

输出

箱子剩余空间

 

思想：在做这一道题时，我们会发现一个问题，这道题完全吻合01背包的特征，但是却没有价值，求得的要是剩余。不过，我们再仔细想想，这道题的价值貌似就是重量，要的是剩余，不就是要求和-最优价值（重量）吗？这是一道变形01背包。套公式：

  for i:=1 to m do

  begin

    readln(w[i]);

    c[i]:=w[i];//重量就是价值

  end;

  for i:=1 to m do

    for j:=n downto w[i] do

    if f[j-w[i]]+c[i]>f[j] then

      f[j]:=f[j-w[i]]+c[i];

  writeln(n-f
);//最小剩余空间=总空间-最大放置空间

 

（2）、完全背包

                   平方数（sqr.pas）  

题目描述

珍珍学习乘法时，发现4=2*2,9=3*3,…,而2不可能分解为二个整数的乘积，但可以分解为1*1+1*1。她想知道对任意的正整数n，把它分解为几个整数与自身相乘之和，有多少种方案呢？

 

输入

只有一行，该行只有一个正整数n。

 

输出

只有一行，该行只有一个正整数，表示总方案数。                 

 

思想：这道题在我以前写的博客里（动态规划专栏（1））中出现过这道题，三重循环土生土长的动态规划，不过，这一次，我只要二重循环。可以发现，这道题区别于01背包的是，他每一个数(k^2)都可以取无数种，而且在一维中有后效性，有这个特征的，我们把它叫做

完全背包，他与01背包就只有一个差距，01的downto变成了有后效性的to（每一个物品无限种，更新了不变的值没有关系），而且在这道题中f[j]代表重量为J的物品，方案种数为f[j]。公式：

For j:=w[i] to m do

  F[j]=max{f[j],f[j-w[i]]+c[i]]};(跟个数无关)

求个数：

For j:=w[i] to m do

  F[j]=max{f[j],f[j-w[i]]};

 

运行后比三重循环将近快了10倍！！

 

终极代码共借鉴：

For i:=1 to n do

  For j:=w[i] to m do

F[j]:=max(f[j],f[j-w[i]]);