坐标和变换的数学基础(1)

通过本节可以了解到坐标的概念

线性变换的概念和计算方法

仿射变换

坐标转换的概念和计算方法

坐标系及坐标

坐标是在特定坐标系下表示物体位置的方法，一谈到坐标，必定是在某个坐标系下给定的。例如经纬度坐标是相对于地球的球面坐标系统给出的。坐标系则给出了一个参考框架，在这个框架里面，定义其他位置相对于一个起始点（这个起始点称作原点O）的位置。同一位置，在不同的坐标系下会有不同的坐标，例如你所在城市以经纬度坐标表示，是相对于地球坐标系来给定的，如果从太阳系或者银河系来给定，又会是另外一个不同的值。
常见的坐标系包括:笛卡尔坐标系，极坐标系，球面坐标系等。
如下图所示的我们熟悉的，2D笛卡尔坐标系(来自wiki):


如下图所示的熟悉的3D笛卡尔坐标系(来自wiki):

定义坐标系

定义一个坐标系需要指定(参考自Objects in Motion):坐标系的维度 2D, 3D, 4D等等

定义坐标空间轴的向量 这些向量成为基向量，他们有名字，例如x,y,z;这些向量一般而言都是正交的，但不一定非得互相正交(只要线性无关即可，后面介绍)，但是每一个维度必须只有一个轴。

坐标系的原点O 原点是导出其他点的参考点。

一个表明空间中点是否合法的区域 在此区域之外的点就不再合法。这个区域根据空间不同，可以是无穷的。

这里，维度已由基向量维数确定，合法区域一般是无穷的，但是在图形处理中某些坐标空间是有限的，例如规范化设备空间（后面其他文章会介绍）。作为一个了解，基向量不一定非得正交，如下图所示:


对于一般情况，我们只需要记住:
坐标系=(基向量，原点O)

左手坐标系和右手坐标系

对于任意2个2D坐标系，我们通过旋转、移动翻转可以将两个坐标系xy轴的指向相同。但是对于3D坐标系，任意两个坐标系却不能等价。实际上，存在两种完全不同的3D坐标系：左手坐标系和右手坐标系。如果同属于左手坐标系或者右手坐标系，则可以通过旋转来重合，否则不可以。
判断一个坐标系是否属于右手系，可以拿出右手，然后右手的大拇指代表+x轴指向，食指代表+y轴指向，中指代表+z轴指向，你可以转动你的右手来匹配这个坐标系，如果能匹配则是右手坐标系，否则是左手坐标系。判断左手坐标系的方法类似。如下图所示为判断右手坐标系的方法(来自OpenGL coordinate system):


关于左右手坐标系理解还可以可参考下图(来自《3D数学基础》):



如上右图右手坐标系，这里拇指、食指、其余手指分别代表x,y,z轴的正方向。高等数学教材上使用的是右手坐标系。

旋转正方向的判断

同样还存在一个左手规则和右手规则，可以用于判断当物体绕轴旋转时正方向的判定问题。对于左手规则，确定一个旋转轴后，左手握成拳头，拇指指向旋转轴的正方向，则其余手指弯曲方向即为旋转的正方向。从旋转轴正向末端来看，正向旋转是顺时针的。对于右手规则，有同样的方法。可参见下图：


左手右手规则在不同场合有着不同作用。上一节，我们使用右手规则判断了叉积的结果向量的方向。注意OpenGL中坐标系 OpenGL中的物体、世界、照相机坐标系都属于右手坐标系，而规范化设备坐标系使用左手坐标系。笼统地说OpenGL使用右手坐标系是不合适的。这些坐标系后面会介绍。关于这个问题可以参考SO.