辗转相除法求得最大公约数的证明

　描述：关于辗转相除法的具体实现在这里就不具体说明了，本文要记录的是辗转相除法应用于求最大公约数的算法证明过程。
　　假设：
求m和n的最大公约数。(假设m>n)
a,b分别是m除以n的商和余数，即m=na+b,a为商，b为余数
gcd(m,n)表示m和n的最大公约数；gcd(n,b)表示a和b的最大公约数
　　求证：gcd(m,n)=gcd(n,b)
　　证明：
　　　　设c=gcd(m,n), d=gcd(n,b)
1.∵c为m和n的公约数
∴m能被c整除，n也能被c整除
∴na也能被c整除 
参照推论一
∴m-na也能被c整除(即b也能为c整除) 
参照推论二
∴c为n和b的公约数
∵d为n和b的最大公约数
∴c≤d
2.　同理可证 d≤c
∵d为n和b的公约数
∴n能被d整除，b也能被d整除
∴na也能被d整除 
参照推论一
∴na+b也能被d整除(即m也能为d整除) 
参照推论二
∴d为m和n的公约数
∵c为m和n的最大公约数
∴d≤c
　　综上所述：c=d，即gcd(m,n)=gcd(n,r)
     推论一：若a能被b整除(a=tb)，则如果k为正整数，则ka也能被b整除(ka=ktb)。
     推论二：若a能被c整除，b也能被c整除，则(a±b)也能被c整除。