BZOJ 3675: [Apio2014]序列分割

题意

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

输入

输入第一行包含两个整数n，k （k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，…，an（0≤ai≤104），表示一开始小H得到的序列。

输出

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

样例输入

7 3
4 1 3 4 0 2 3

样例输出

108

我们首先可以发现交换切割顺序不会影响答案

然后可以得到式子

令fi,k表示在取到第i个数时切割k次的最大分数

则 fi,k=max{fj,k−1+sumj+1,i×sumi+1,n}

(sumi,k 表示 ∑kj=iaj )

令si=∑ij=1aj

对于一个固定的k, 令gi=fi,k−1, 则fi,k=max{gj+(si−sj)×(sn−si)}

化简得

fi,k=max{gj−s2i+si×sn−sj×sn} =max{gj−sj×sn}−s2i+si×sn

对于两个决策 j,k (j>k)

决策j比k优当且仅当 gj−gk>(sn−si)×(sj−sk)

即

gj+gksj−sk>sn−si

故可以进行斜率优化

因为序列中的数有可能为0，所以需要注意斜率不存在的情况。

因为只有128M内存，需要滚动f数组

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100010
#define ll long long
deque s[210];
ll sum
,f[2]
;
double calc(int j,int k,int p) {
//j>k
if(sum[j]==sum[k]) return -1e10;
return (double)(f[p & 1][j]-f[p & 1][k])/(double)(sum[j]-sum[k]);
}
int a
;
int main() {
//freopen("3675.in","r",stdin);
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
for(int i=1;i<=k;i++) {
s[i].push_back(1);
f[i&1][1]=sum[1]*(sum
-sum[1]);
}
s[0].push_back(0);
for(int j=1;j<=k;j++) {
for(int i=2;i<=n;i++){
while(s[j-1].size()>1&&calc(s[j-1][s[j-1].size()-2],s[j-1].back(),j-1)>(sum
-sum[i]))  {
s[j-1].pop_back();
}
f[j & 1][i]=f[(j-1) & 1][s[j-1].back()]+(sum
-sum[i])*(sum[i]-sum[s[j-1].back()]);
while(s[j].size()>1&&calc(i,s[j].front(),j)>=calc(s[j].front(),s[j][1],j)) {
s[j].pop_front();
}
s[j].push_front(i);
}
}
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
ans=max(ans,f[k & 1][i]);
}
printf("%lld\n",ans);
}

在UOJ上也有一道一样的题，需要输出方案，但空间给的256M

可以直接开一个数组记录答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100010
#define ll long long
deque s[210];
ll sum
,f[2]
;
int pre[210]
;
double calc(int j,int k,int p) {
//j>k
if(sum[j]==sum[k]) return -999999;
return (double)(f[p & 1][j]-f[p & 1][k])/(double)(sum[j]-sum[k]);
}
int a
;
int main() {
freopen("3675.in","r",stdin);
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
/*for(int i=1;i<=k;i++) {
s[i].push_back(1);
f[i&1][1]=sum[1]*(sum
-sum[1]);
}*/
//  s[1].push_back(1);
f[1&1][1]=sum[1]*(sum
-sum[1]);
s[0].push_back(0);
//  f[1][1]=sum[1]*(sum
-sum[1]);
for(int j=1;j<=k;j++) {
for(int i=j;i1&&calc(s[j-1][s[j-1].size()-2],s[j-1].back(),j-1)>(sum
-sum[i]))  {
s[j-1].pop_back();
}
f[j & 1][i]=f[(j-1) & 1][s[j-1].back()]+(sum
-sum[i])*(sum[i]-sum[s[j-1].back()]);
pre[j][i]=s[j-1].back();
while(s[j].size()>1&&calc(i,s[j].front(),j)>=calc(s[j].front(),s[j][1],j)) {

s[j].pop_front();
}
s[j].push_front(i);
}
}
ll ans=0;
int pos=0;
for(int i=1;i=ans) pos=i;
ans=max(ans,f[k & 1][i]);
}
printf("%lld\n",ans);
for(int i=k;i>=1;i--) {
printf("%d ",pos);
if(pre[i][pos]!=0) pos=pre[i][pos];
}
//  printf("%d",pos);
}

查看原文：https://gyming.org/?p=228