Java数据结构与算法解析(十四)——二叉堆

二叉堆概述

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。 

最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

二叉堆一般都通过”数组”来实现，下面是数组实现的最大堆和最小堆的示意图： 

二叉堆的实现

本实现以”最大堆”为例子来进行介绍。

1. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下： 



当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动！ 

将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

最大堆的插入代码

/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterup(int start) {
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0) {
int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
if(cmp >= 0)
break;
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(p));
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*/
public void insert(T data) {
int size = mHeap.size();

mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
filterup(size);        // 向上调整堆
}

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insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。mHeap是动态数组ArrayList对象。 

当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

2. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下： 



当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。 

从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。

注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换；而必须考虑到”替换后的树仍然要是最大堆”！ 



二叉堆的删除代码

/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterdown(int start, int end) {
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end) {
int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && cmp<0)
l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
if(cmp >= 0)
break;        //调整结束
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(l));
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
*      0，成功
*     -1，失败
*/
public int remove(T data) {
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mHeap.isEmpty() == true)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
int index = mHeap.indexOf(data);
if (index==-1)
return -1;

int size = mHeap.size();
mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

if (mHeap.size() > 1)
filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

return 0;
}

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完整代码

二叉堆(最大堆)的实现

public class MaxHeap<T extends Comparable<T>> {

private List<T> mHeap;    // 队列(实际上是动态数组ArrayList的实例)

public MaxHeap() {
this.mHeap = new ArrayList<T>();
}

/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterdown(int start, int end) {
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end) {
int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && cmp<0)
l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
if(cmp >= 0)
break;        //调整结束
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(l));
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
*      0，成功
*     -1，失败
*/
public int remove(T data) {
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mHeap.isEmpty() == true)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
int index = mHeap.indexOf(data);
if (index==-1)
return -1;

int size = mHeap.size();
mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

if (mHeap.size() > 1)
filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

return 0;
}

/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterup(int start) {
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0) {
int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
if(cmp >= 0)
break;
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(p));
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*/
public void insert(T data) {
int size = mHeap.size();

mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
filterup(size);        // 向上调整堆
}

@Override
public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int i=0; i<mHeap.size(); i++)
sb.append(mHeap.get(i) +" ");

return sb.toString();
}

public static void main(String[] args) {
int i;
int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
MaxHeap<Integer> tree=new MaxHeap<Integer>();

System.out.printf("== 依次添加: ");
for(i=0; i<a.length; i++) {
System.out.printf("%d ", a[i]);
tree.insert(a[i]);
}

System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);

i=85;
tree.insert(i);
System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);
System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);

i=90;
tree.remove(i);
System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i);
System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree);
System.out.printf("\n");
}
}

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二叉堆(最小堆)的实现文件

public class MinHeap<T extends Comparable<T>> {

private List<T> mHeap;        // 存放堆的数组

public MinHeap() {
this.mHeap = new ArrayList<T>();
}

/*
* 最小堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterdown(int start, int end) {
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
T tmp = mHeap.get(c);    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end) {
int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1));
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && cmp>0)
l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]

cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
if(cmp <= 0)
break;        //调整结束
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(l));
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 最小堆的删除
*
* 返回值：
*     成功，返回被删除的值
*     失败，返回null
*/
public int remove(T data) {
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(mHeap.isEmpty() == true)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
int index = mHeap.indexOf(data);
if (index==-1)
return -1;

int size = mHeap.size();
mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补
mHeap.remove(size - 1);                // 删除最后的元素

if (mHeap.size() > 1)
filterdown(index, mHeap.size()-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆

return 0;
}

/*
* 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterup(int start) {
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
T tmp = mHeap.get(c);        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0) {
int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
if(cmp <= 0)
break;
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(p));
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*/
public void insert(T data) {
int size = mHeap.size();

mHeap.add(data);    // 将"数组"插在表尾
filterup(size);        // 向上调整堆
}

public String toString() {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int i=0; i<mHeap.size(); i++)
sb.append(mHeap.get(i) +" ");

return sb.toString();
}

public static void main(String[] args) {
int i;
int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};
MinHeap<Integer> tree=new MinHeap<Integer>();

System.out.printf("== 依次添加: ");
for(i=0; i<a.length; i++) {
System.out.printf("%d ", a[i]);
tree.insert(a[i]);
}

System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);

i=15;
tree.insert(i);
System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i);
System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);

i=10;
tree.remove(i);
System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i);
System.out.printf("\n== 最 小 堆: %s", tree);
System.out.printf("\n");
}
}