用Python学《微积分B》（多元微分学的几何应用）

  多元函数微分学的几何应用主要是讲述空间向量与微分学的融合，包括：空间曲线的切线和空间曲面的切平面。如果将本文和之前的“空间向量”一文结合起来看，你会发现多元函数微分学与空间向量结合后的神奇。

一、空间曲线的切线

1，空间曲线的参数方程

  在“空间向量”一文中提到：空间曲线可以看作是两个空间曲面的交线，可以用一个方程组来描述

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

  也可以用参数方程来描述

⎧⎩⎨⎪⎪x=x(t)y=y(t)z=z(t)

  细思一下，用方程组描述表示“交线”，这个比较容易理解，那么为什么能用一元的参数方程组来描述呢？

  事实上，可以用普通方程通过如下方式推导出参数方程

  先假设存在 x=x(t) ，代入那个普通方程组，可以用消元法，分别解出

{y=y(t)z=z(t)

2，参数方程的切线

  一元函数的导数在几何上表示平面曲线在某点的切线的斜率，反过来推广，空间曲线的切线斜率也可以用导数来表示。现在来看空间曲线的切线，它同样可以表示为割线的极限，而割线则表示两点间的连线，很容易用向量来表示，如下

τ⃗ =limM→M0MM0→=limt→t0(x(t)−x(t0)t−t0,y(t)−y(t0)t−t0,z(t)−z(t0)t−t0)

  观察上式，在各个分量上等于参数方程的导数，即

τ⃗ =(x′(t),y′(t),z′(t))

  这就是空间曲线的切线的斜率（向量）。有了斜率，切线的方程可以用“点斜式”（点向式）表示为

x(t)−x(t0)x′(t)=y(t)−y(t0)y′(t)=z(t)−z(t0)z′(t)

  如果令上式等于 λ ，就可以写成切线的参数方程。此外，知道了切线方程，通过平面“点法式”，也可以构造出它的法平面方程。

3，空间曲线的一般方程

  上面是从空间曲线的参数方程来推导它的切线方程，如果已知的是空间曲线的一般方程呢？要怎样才能求出它的切线方程？

  答案是：隐函数方程组求导。具体如下

  对方程组中各个方程两边分别对 x 求导

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

  解出 dydx,dzdx

  那么，切线的斜率向量为 (1,dydx,dzdx)

二、空间曲面的切平面

1，空间曲面与空间直线

1）空间曲面的方程

F(x,y,z)=0

  上式是隐函数形式，下面再给出一般形式

z=f(x,y)

2）切平面

  二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 fx 相当于空间曲面 F(x,y,z)=0 与平面 y=y0 的交线的斜率，这个交线 lxz 既位于空间曲面 F(x,y,z)=0 上，也位于平面 y=y0 上。类似地，也可以得到另一条交线 lyz ，它与 lxz 相交与点 (x0,y0,z0)。很显然，两条相交的空间直线（注意不是空间曲线）必定位于同一个平面。

  换句话说，空间直线 lxz 与 lyz 确定的平面就是空间曲面 F(x,y,z)=0 的切平面。

  这个平面的法向量为

n⃗ =lxz→×lyz→

2，法向量与梯度

  仔细想想，上面那个法向量既是切平面的法向量，也是空间曲面在点 M0(x0,y0,z0) 的梯度向量。故有

n⃗ =(Fx,Fy,Fz)

  根据平面“点法式”方程可得切平面的方程为

Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0

  上面是三维梯度，事实上，也可以换成平面梯度来理解

Δz=fxΔx+fyΔy

  上式表示沿梯度向量的变化关系，变形一下

z−z0=fx(x−x0)+fy(y−y0)

  这事实上就是切平面的方程，至此，大家可以体会一下切平面的意义。

  再变换一下

fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)−(z−z0)=0

  逆向运用“点法式”，可得

n⃗ =(fx,fy,−1)

注：貌似得到了两个法向量，但实际上单位化后它们是相等的。