【bzoj1076】【SCOI2008】【奖励关】期望最优值dp
2017-10-31 19:09
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Description
你正在玩你最喜欢的电子游戏,并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里,系统将依次随机抛出k次宝物,
每次你都可以选择吃或者不吃(必须在抛出下一个宝物之前做出选择,且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃)。
宝物一共有n种,系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说,即使前k-1次系统都抛出宝物1(
这种情况是有可能出现的,尽管概率非常小),第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi
分,但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过
一次,才能吃第i种宝物(如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物,相当于白白的损失了一次机会)。注意,Pi可
以是负数,但如果它是很多高分宝物的前提,损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你
采取最优策略,平均情况你一共能在奖励关得到多少分值?
Input
第一行为两个正整数k和n,即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物,其中第一个整数代表分值,随
后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物(各宝物编号为1到n),以0结尾。
Output
输出一个实数,保留六位小数,即在最优策略下平均情况的得分。
Sample Input
1 2
1 0
2 0
Sample Output
1.500000
HINT
【数据规模】
1<=k<=100,1<=n<=15,分值为[-10^6,10^6]内的整数。
最近学期望dp,发现自己功力还不够深厚啊。。。状态转移只想得比较大概,没有真正的想清楚。
数据范围:状压
看到题目中的“损失短期利益获得更大利益”,就想到了dp。我们设dp[i][s]表示第i次获得的宝物状态为s的期望最大收益。
最开始想到的顺推:
dp[i][s]=max{(dp[i-1][s^(1<<(j-1)]+w[j])*1/n,dp[i-1][s]*1/n}
其中s^(1<<(j-1))需要是s的合法前继状态。而且丢出的宝物我们不一定要吃。
不太明白网上为什么说要倒推。大概是因为可以直接由合法状态转移过来,而正推需要判断更多的不合法状态。此时的dp应定义为期望还可以获得的分数。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const double oo=0x7fffffff; int pre[20]; int k,n; double scr[20],dp[105][1<<15]; int main(){ scanf("%d%d",&k,&n); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%lf",&scr[i]); int tmp=0,j; while(scanf("%d",&j)){ if(j==0) break; tmp|=(1<<(j-1)); } pre[i]=tmp; } for(int i=k;i>=1;i--){ for(int j=0;j<(1<<n);j++){ for(int q=1;q<=n;q++){ if((pre[q]|j)==j){ dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j|(1<<(q-1))]+scr[q]); } else dp[i][j]+=dp[i+1][j]; } dp[i][j]/=(double)n; } } printf("%.6lf\n",dp[1][0]); return 0; }
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