基础集合论 第三章 2 自然数集

后继

对于任意集合 a, 称 a∪{a} 为 a 的后继，记作 a+:

a+=a∪{a}

易知 a∈a+,a⊆a+,

定义 0=∅,1=0+,2=1+,...

定理 1

0 不是任何集合的后继， 即 ∀a(a+≠0)

证明：

a∈a+

归纳集

对于集合 A ，当且仅当：

1. 0∈A

2. ∀a(a∈A⇒a+∈A)

时， A 是一个归纳集 (inductive set)。

无穷公理

至少存在一个归纳集。

引理 1

存在唯一的集合 N 使得 ∀n(n 属于所有的归纳集 ⇔n∈N)

证明：

由无穷公理，任取一个归纳集 A,

则存在唯一的集合 N={n∈A∣n 属于所有的归纳集 }={n∣n 属于所有的归纳集 }

自然数集

定义 N 为自然数集，它的元素为自然数。

定理 2

N 是归纳集。

证明：

∀ 归纳集 A(0∈A), 因此 0∈N

∀a(a∈N⇒a 属于所有的归纳集 ⇒a+ 属于所有的归纳集 ⇒a+∈N)

定理 3 归纳原理

∀ 集合 A⊆N, 若 A 满足：

1. ∅∈A

2. ∀a(a∈A⇒a+∈A)

则 A=N

证明：

由已知 A⊆N， 又由 条件 1，2， A 是归纳集，因此 N⊆A， 因此 A=N

定理 4

∀n∈N+,(∃m∈N(m+=n)), 其中 N+={n∈N:n≠0}

证明：

令 M={0}∪{n∈N∣∃m∈N,m+=n}, 由归纳原理可得 M=N

传递集定义：

集合 A 是传递集 ⇔∀x,∀y(x∈A∧y∈x⇒y∈A)

定理 5

∀n∈N,n 是传递集。

证明：

令 M={n∈N∣∀x,∀y(x∈n∧y∈x⇒y∈n)}, 由 n+=n∪{n} 和归纳原理可得 M=N

推论 1

∀m,n∈N(m∈n⇒m⊆n)

推论 2

∀n∈N(n∉n)

证明： 令 M={n∈N∣n∉n}, 由 n+=n∪{n} 和归纳原理可得 M=N

推论 3

∀m,n∈N(m∈n⇒m⊂n)

定理 6

N 是传递集。

令 M={n∈N∣∀x(x∈n⇒x∈N)}, 由 n+=n∪{n} 和归纳原理可得 M=N

推论

自然数的元素仍然是自然数，而且是它的真子集。