BZOJ 4017&&2017 icpc 西安G 区间异或和
2017-10-31 12:03
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第一个问题,一堆0和1,求所有区间的异或的和
第二个问题,一堆0和1,求所有区间的和的异或
令xor(i)表示前i项的异或值,xor(l,r)表示第l项到第r项的异或值,那么xor(l,r)=xor(r)⊕xor(l−1)。
考虑xor(l,r)的二进制第k位是1的可能情况,当且仅当xor(r)和xor(l−1)的二进制第k位不同。
那么我们可以固定右端点r,算出有多少个l使xor(l,r)的第k位是1,假设已经算出右端点为r的答案,现在可以O(1)推到右端点为r+1的答案,因为对于r+1来说新增的l只有r+1一个,只需要O(1)将贡献产生即可。时间复杂度O(nlogA)。
再考虑第二问。
同第一问的想法,令sum(i)表示前i项的和,sum(l,r)表示第l项到第r项的和,那么sum(l,r)=sum(r)−sum(l−1)。
考虑答案的第k位是1的可能,一定是sum(r)−sum(l−1)的二进制第k位为1,这样的二元组个数为奇数。这个式子可以被表达成
(sum(r)−sum(l−1))mod2k+1≥2k
那么对于每个k,我们可以将sum(i)mod2k+1进行离散化,按照右端点r升序枚举sum(r)mod2k+1,利用树状数组询问满足(sum(r)−sum(l−1))mod2k+1≥2k的l的个数,注意这个等式得到的sum(l−1)可能是满足
sum(l−1)mod2k+1≤(sum(r)mod2k+1)−2k
且
0≤sum(l−1)mod2k+1
的,也可能是满足
sum(l−1)mod2k+1≤(sum(r)mod2k+1)−2k+2k+1=(sum(r)mod2k+1)+2k
且
sum(r)mod2k+1<sum(l−1)mod2k+1
的。时间复杂度O(nlognlog∑A),常数很大。
转自:http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/45401245
第一个问题,一堆0和1,求所有区间的异或的和
第二个问题,一堆0和1,求所有区间的和的异或
令xor(i)表示前i项的异或值,xor(l,r)表示第l项到第r项的异或值,那么xor(l,r)=xor(r)⊕xor(l−1)。
考虑xor(l,r)的二进制第k位是1的可能情况,当且仅当xor(r)和xor(l−1)的二进制第k位不同。
那么我们可以固定右端点r,算出有多少个l使xor(l,r)的第k位是1,假设已经算出右端点为r的答案,现在可以O(1)推到右端点为r+1的答案,因为对于r+1来说新增的l只有r+1一个,只需要O(1)将贡献产生即可。时间复杂度O(nlogA)。
再考虑第二问。
同第一问的想法,令sum(i)表示前i项的和,sum(l,r)表示第l项到第r项的和,那么sum(l,r)=sum(r)−sum(l−1)。
考虑答案的第k位是1的可能,一定是sum(r)−sum(l−1)的二进制第k位为1,这样的二元组个数为奇数。这个式子可以被表达成
(sum(r)−sum(l−1))mod2k+1≥2k
那么对于每个k,我们可以将sum(i)mod2k+1进行离散化,按照右端点r升序枚举sum(r)mod2k+1,利用树状数组询问满足(sum(r)−sum(l−1))mod2k+1≥2k的l的个数,注意这个等式得到的sum(l−1)可能是满足
sum(l−1)mod2k+1≤(sum(r)mod2k+1)−2k
且
0≤sum(l−1)mod2k+1
的,也可能是满足
sum(l−1)mod2k+1≤(sum(r)mod2k+1)−2k+2k+1=(sum(r)mod2k+1)+2k
且
sum(r)mod2k+1<sum(l−1)mod2k+1
的。时间复杂度O(nlognlog∑A),常数很大。
/// .-~~~~~~~~~-._ _.-~~~~~~~~~-. /// __.' ~. .~ `.__ /// .'// \./ \\`. /// .'// | \\`. /// .'// .-~"""""""~~~~-._ | _,-~~~~"""""""~-. \\`. /// .'//.-" `-. | .-' "-.\\`. /// .'//______.============-.. \ | / ..-============.______\\`. /// .'______________________________\|/______________________________`. #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") #include <vector> #include <iostream> #include <string> #include <map> #include <stack> #include <cstring> #include <queue> #include <list> #include <stdio.h> #include <set> #include <algorithm> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <iomanip> #include <cctype> #include <sstream> #include <functional> #include <stdlib.h> #include <time.h> #include <bitset> using namespace std; #define pi acos(-1) #define s_1(x) scanf("%d",&x) #define s_2(x,y) scanf("%d%d",&x,&y) #define s_3(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z) #define s_4(x,y,z,X) scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&X) #define S_1(x) scan_d(x) #define S_2(x,y) scan_d(x),scan_d(y) #define S_3(x,y,z) scan_d(x),scan_d(y),scan_d(z) #define PI acos(-1) #define endl '\n' #define srand() srand(time(0)); #define me(x,y) memset(x,y,sizeof(x)); #define foreach(it,a) for(__typeof((a).begin()) it=(a).begin();it!=(a).end();it++) #define close() ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); #define FOR(x,n,i) for(int i=x;i<=n;i++) #define FOr(x,n,i) for(int i=x;i<n;i++) #define fOR(n,x,i) for(int i=n;i>=x;i--) #define fOr(n,x,i) for(int i=n;i>x;i--) #define W while #define sgn(x) ((x) < 0 ? -1 : (x) > 0) #define bug printf("***********\n"); #define db double #define ll long long #define mp make_pair #define pb push_back typedef long long LL; typedef pair <int, int> ii; const int INF=0x3f3f3f3f; const LL LINF=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL; const int dx[]={-1,0,1,0,1,-1,-1,1}; const int dy[]={0,1,0,-1,-1,1,-1,1}; const int maxn=1e5+10; const int maxx=1e3+10; const double EPS=1e-8; const double eps=1e-8; const int mod=998244353; template<class T>inline T min(T a,T b,T c) { return min(min(a,b),c);} template<class T>inline T max(T a,T b,T c) { return max(max(a,b),c);} template<class T>inline T min(T a,T b,T c,T d) { return min(min(a,b),min(c,d));} template<class T>inline T max(T a,T b,T c,T d) { return max(max(a,b),max(c,d));} template <class T> inline bool scan_d(T &ret){char c;int sgn;if (c = getchar(), c == EOF){return 0;} while (c != '-' && (c < '0' || c > '9')){c = getchar();}sgn = (c == '-') ? -1 : 1;ret = (c == '-') ? 0 : (c - '0'); while (c = getchar(), c >= '0' && c <= '9'){ret = ret * 10 + (c - '0');}ret *= sgn;return 1;} inline bool scan_lf(double &num){char in;double Dec=0.1;bool IsN=false,IsD=false;in=getchar();if(in==EOF) return false; while(in!='-'&&in!='.'&&(in<'0'||in>'9'))in=getchar();if(in=='-'){IsN=true;num=0;}else if(in=='.'){IsD=true;num=0;} else num=in-'0';if(!IsD){while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9'){num*=10;num+=in-'0';}} if(in!='.'){if(IsN) num=-num;return true;}else{while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9'){num+=Dec*(in-'0');Dec*=0.1;}} if(IsN) num=-num;return true;} void Out(LL a){if(a < 0) { putchar('-'); a = -a; }if(a >= 10) Out(a / 10);putchar(a % 10 + '0');} void print(LL a){ Out(a),puts("");} //freopen( "in.txt" , "r" , stdin ); //freopen( "data.txt" , "w" , stdout ); //cerr << "run time is " << clock() << endl; int n; int a[maxn],pre[maxn]; int bit[maxn],d[maxn]; LL p[maxn],sum[maxn]; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void update(int x) { for( ; x <= n; x += ~x & x + 1) bit[x] ^= 1; } int query(int x) { int ret = 0; for( ; x >= 0; x -= ~x & x + 1) ret ^= bit[x]; return ret; } int pos(LL x) { int L=-1,R=n; W(L<R) { int M=L+R+1>>1; if(p[M]<=x) L=M; else R=M-1; } return L; } // void inc(int &x, int y) { x += y; if(x >= mod) x -= mod; } void solve() { W(s_1(n)!=EOF) { int ans1=0; LL ans2=0; pre[0]=0; sum[0]=0; FOR(1,n,i) s_1(a[i]); FOR(1,n,i) { sum[i]=sum[i-1]+a[i]; pre[i]=pre[i-1]^a[i]; } for(int k=0,powk=1;k<30;++k,inc(powk,powk)) { int cnt[2]={},tmp=0; FOR(0,n,i) { inc(tmp,cnt[((pre[i]>>k)&1)^1]); ++cnt[(pre[i]>>k)&1]; } inc(ans1,(long long)powk*tmp%mod); } //print(ans1); for(int k=0;1LL<<k<=sum ;++k) { int tmp=0; FOR(0,n,i) p[i]=sum[i]&((1LL<<k+1)-1); sort(p,p+n+1); me(bit,0); FOR(0,n,i) { LL now=sum[i]&((1LL<<k+1)-1); update(pos(now)); tmp^=query(pos(now-(1LL<<k)))^query(pos(now+(1LL << k)))^query(pos(now)); } if(tmp) ans2|=1LL<<k; } printf("%d %lld\n",ans1,ans2); } } int main() { //freopen( "in.txt" , "r" , stdin ); //freopen( "data.txt" , "w" , stdout ); int t=1; //init(); //s_1(t); for(int cas=1;cas<=t;cas++) { //printf("Case #%d: ",cas); solve(); } }
转自:http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/45401245
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