2017.10.30闵神讲课DAY3（DP状态压缩）

DP利用数据结构优化

例题：

给定一个集合，从中选出一个最长的等差数列。

集合大小<=5000，数的大小<=10^9.

首先我们可以先想出一个超级暴力的算法，再把它进行优化

先考虑数的大小<=5000的情况。

f[i][j]=f[j][k]+1(a[i]-a[j]=a[j]-a[k]) O(n^3)

用二分查找k可以优化为O(n^2logn)

其实我们只要找他在不在就好，用哈希表即可O(1)，我们就把算法优化为O(n^2)了

例题：

给定一个数列，请将他们划分成若干个不相交的区间（这些区间的并集等于整个数列），且每个区间的元素和都非负，求方案数。

n<20?

n<5000?

n<500000?

f[j]=sum(f[j](Si−Sj
4000
>=0))(j<i)

那么如何快速求和呢？？？

让我们来想想学过的数据结构可以求和的……

线段树！！！！！

线段树可以快速求一个区间的和。

我们将Si，Sj看成下标，那么如果数字很大很大呢 离散化

用线段树进行维护

状态压缩

有时候我们没有办法将已经做过的决策序列S进行简化

例题：

一个妹纸说自己刚刚集齐了12星座的前男友，假设她交到每个星座的男朋友的概率都是相等的，求她期望交过的男朋友的个数。

f[S]=1/12*(1+f[S∪{i}])

S是当前已经集齐了S这个集合，i枚举12个星座

但是由于这个问题的高度对称性，不需要状态压缩。

f[i]=i/12*(f[i]+1)+(12-i)/12*(f[i+1]+1)

这个式子经过简化后可得：

f[i]=12/(12-i)+f[i+1]

例题：

一个有n+1个点的平面图（完全图），一个人需要从第0个点出发，设计一条路线使得每个点都经过且只经过一次，且路程最短

n<=20

f[s][j]=minf[s|(1<<j)[j]+dis[i][j]

f[(1<<n)−1][i]=0;

博弈问题

这里指的不是组合游戏问谁有必胜策略的博弈问题。

在博弈问题中，因为游戏规则是公平的，所以在相同局面下两个人的决策是相同的，这也就导致了我们选择动态规划解决问题：DP的决策是用相同的策略所以才能写出方程；而且都是想让自己最优而对方最不优，所以博弈问题常常伴随着状态转移方程中max里套min或者min里套max，外层的max或者min是自己的决策，代表在通往所有可能的后继状态中取最优，内层的min或max代表对方的决策，代表对方也要取最优，也就是你的最不优。

例题：

有如下一个双人游戏:N个正整数的序列放在一个游戏平台上，两人轮流从序列的两端取数，取数后该数字被去掉并累加到本玩家的得分中，当数取尽时，游戏结束。以最终得分多者为胜。求最优情况下两个人拿到的数。

N(2 <= N <= 100)

f[l,r]=s[l,r]-min(f[l+1,r],f[l,r-1])

例题：

一个有N枚硬币的堆栈放在地上，从堆顶数起的第i枚硬币的币值为C_i，在每一轮中，当前的玩家至少拿走一枚硬币，至多拿走对手上一次所拿硬币数量的两倍（第一个人第一次只能拿一枚）。当没有硬币可拿时，游戏结束。两个人都想拿更多钱，请问，第一个玩家最多能拿多少钱？

5 <= N <= 2,000，1 <= C_i <= 100,000

f[i][j+1]=s[i]-min{f[i-k][k]}(k<=(j+1)*2)

=max(f[i][j],s[i]-min{f[i-(j*2+1)][j*2+1],f[i-(j*2+2)][j*2+2]}

例题;

A和B玩游戏，一个网格图上有n个帽子和m个带权的硬币，每次A可以翻开一个帽子，B可以在A翻开帽子之前用魔术随意改变这m个硬币的位置，但是必须满足：

硬币必须在帽子下面；每个帽子下面至多有一个硬币；每行每列的帽子数+硬币数为偶数；翻开过的帽子下面的内容不许改变

请问A和B都表现得最好的情况下，A翻到的硬币的价值总和，n≤15。

f[S]=max{min{f[S:i→0],f[S:i→1]+1}}(i未翻开)

无限迭代

一般指状态转移方程中出现循环代值的情况。

一般使用某种奇怪的方式解决迭代问题。

当然，大力迭代可能会出奇迹。

例题：

小C和小H玩游戏，每一局小C获胜/平局/失败的概率分别为a/b/c，当小C获胜的场数比小H获胜的场数多n时，小C赢得游戏胜利，当比小H少m时，小H胜利，求小C赢得游戏胜利的概率。

n,m≤100，a+b+c=1

f[i]=a*f[i+1]+b*f[i]+c*f[i-1]

高斯消元

例题：

A和B玩游戏，一共有n张牌，被分给两个人，第i张牌对第张牌的胜率为f[i][j]，每轮每个人都等概率地从手牌中随机抽取一张进行对决，胜者获得两张对决的牌，当一个人拥有所有n张牌时获得胜利。共q次询问，求A的起始手牌为S时获胜的概率。

n≤7，f[i][j]+f[j][i]=1。

f[S]=sum{1/(|S|^2)*(p[i][j]*f[S∪{j}]+p[j][i]*f[S-{i}])}

n≤8？f[S]+f[~S]=1。

n≤100？若A∩B=∅，f[A]+[B]=f[A∪B]。

考虑三个人的游戏，f[A]+f[B]+f[C]=1，且对A来说，此处的f[A]=1-f[B∪C]。