[BZOJ2425][HAOI2010]计数（组合数学）

首先，统计出数字串中0,1,...,9出现的次数cnt[0],cnt[1],...,cnt[9]。

先考虑用其中的所有非零数字能构成多少个允许含前导0的len位数。

可以想到，现在len位中选出cnt[1]位设为1，然后在剩下的len−cnt[1]位中选出cnt[2]位设为2，再在剩下的len−cnt[1]−cnt[2]位中选出cnt[3]位设为3…，即结果为：

∏9i=1Ccnt[i]len−∑i−1j=1cnt[j]

而对于不含前导0的，就只要枚举最高位，就可以用上面的式子了（有些小细节，具体见代码实现）。

代码实现如下（lowe(len,0/1)表示构成len位数，第二个参数为0表示可以含前导0，为1表示不能含前导0）：

ll lowe(int len, bool first) {
int i, j; ll ans = 1; if (!first) {
for (i = 1; i <= 9; len -= cnt[i++])
ans *= C[len][cnt[i]];
return ans;
}
ans = 0; for (i = 1; i <= 9; i++) {
cnt[i]--; ans += lowe(len - 1, 0);
cnt[i]++;
}
return ans;
}

继续考虑求位数相等且比原数字串小的数字串个数。

考虑最高位的取值，分两部分计算：

1、最高位的取值比原数字串的最高位小。这样后面位的值不管取多少，都是不会大于等于原数字串的。这时候可以用上面的方法求得。

2、最高位的取值等于原数字串的最高位。这时候就要求去掉最高位之后比原数字串小。但可以发现，这是和原问题相同的一个子问题，可以递归处理（在标程中使用的是非递归）。

注意判断前导0。

组合数可以使用公式Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1预处理。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1005, R = 12;
int n, num
, tot, cnt[R];
char s
; ll C

, Ans;
void init() {
int i, j; for (i = 0; i <= 1000; i++) C[i][0] = 1;
for (i = 1; i <= 1000; i++) for (j = 1; j <= i; j++)
C[i][j] = C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1];
}
ll lowe(int len, bool first) {
int i, j; ll ans = 1; if (!first) {
for (i = 1; i <= 9; len -= cnt[i++])
ans *= C[len][cnt[i]];
return ans;
}
ans = 0; for (i = 1; i <= 9; i++) {
cnt[i]--; ans += lowe(len - 1, 0);
cnt[i]++;
}
return ans;
}
void solve() {
int i, j; for (i = 1; i <= n; i++) {
for (j = (i == 1); j < num[i]; j++) {
if (!cnt[j]) continue;
cnt[j]--; Ans += lowe(n - i, 0);
cnt[j]++;
}
cnt[num[i]]--;
}
}
int main() {
int i; scanf("%s", s + 1); n = strlen(s + 1);
for (i = 1; i <= n; i++) {
cnt[num[i] = s[i] - '0']++;
if (num[i]) tot++;
}
init(); for (i = tot; i < n; i++) Ans += lowe(i, 1);
cout << (solve(), Ans) << endl;
return 0;
}