二分搜索

一、适用条件

 二分搜索采用分治法。分治法基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题。其适用条件为：

原问题在规模缩小到一定程度时很容易求解

原问题可以分解为若干个规模较小的子问题

子问题互相独立且与原问题相同

子问题的解可合并为原问题的解

二、算法实现

  问题：从给定的已排好序的n个元素a[0:n−1]中找出一个特定元素x。

  解决该问题可以使用递归和非递归两种方式

2.1递归方法

1. template<typename T>
2. int BinarySerach(T a[], int left, int right,const T& x)
3. {
4.     while(left <= right) {
6.         int middle = (left + right) / 2;
5.         if (a[middle] > x)
6.             return BinarySearch(a, left, middle - 1, x);
7.         if (a[middle] < x)
8.             return BinarySearch(a, middle + 1, right, x);
9.         else
10.            return middle;
11.     }
12.     return -1;
12. }

2.2非递归方法

1. template<typename T>
2. int BinarySearch(T a[], const T& x, int n)
3. {
4.     int left = 0; int right = n - 1;
5.     while (left <= right) {
6.         int middle = (left + right) / 2;
7.         if (a[middle] == x) return middle;
8.         if (a[middle] < x) left = middle + 1;
9.         else right = middle - 1;
10.     }
11.     return -1;
12. }

2.3寻找下界

1. template<typename T>
2. int BinarySearch(T a[], const T& x, int n)
3. {
4.     if (rignt < left) return -1;
4.     int left = 0; int right = n - 1;
5.     int middle = (left + right + 1) / 2;
5.     while(right >= left) {
6.         if(a[middle] < x) left = middle;
7.         else right = middle - 1;
8.         middle = (left + right + 1) / 2;
9.     }
10.    return middle;
11. }

  求中间索引采用向上取整的原因是防止陷入死循环。二分法求上界的算法与此相似，也是采用半边检索方式寻找目标值。

  二分检索缺点是检索序列必须为有序序列，当检索序列中含有重复值时需搜索出上界和下界，中间的范围为所求值。