[BZOJ4517][SDOI2016]排列计数（排列组合）

先考虑怎样求出1到n的所有排列中，错排（一个1到n的排列A[1],A[2],...,A[n]的每一个值都有i≠A[i]）的个数Dn。

先考虑Dn的容斥求法：Dn=Ann−An−1n+An−2n−An−3n+...+(−1)nA0n。

把A化为阶乘形式后，利用分配律可以得到D的递推式：

1、D0=1

2、当i是奇数时，Dn=Dn−1∗n−1

3、当i是偶数时，Dn=Dn−1∗n+1

回到原问题。可以发现，如果固定了满足i=A[i]的m个位置，那么剩下的n−m个数必将组成一个n−m个数的错排。

所以答案=Cmn∗Dn−m。预处理阶乘，阶乘逆元和D之后就可以O(1)求解一组数据了。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
int res = 0; bool bo = 0; char c;
while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
return bo ? ~res + 1 : res;
}
const int MaxN = 1e6, N = MaxN + 5, PYZ = 1e9 + 7;
int n, m, A
, D
, inv
;
int qpow(int a, int b) {
int res = 1;
while (b) {
if (b & 1) res = 1ll * res * a % PYZ;
a = 1ll * a * a % PYZ;
b >>= 1;
}
return res;
}
int C(int n, int m) {
return 1ll * A
* inv[m] % PYZ * inv[n - m] % PYZ;
}
void init() {
int i; A[0] = D[0] = 1; for (i = 1; i <= MaxN; i++) {
A[i] = 1ll * A[i - 1] * i % PYZ;
D[i] = (1ll * D[i - 1] * i + (i & 1 ? -1 : 1)) % PYZ;
if (D[i] < 0) D[i] += PYZ;
}
inv[MaxN] = qpow(A[MaxN], PYZ - 2);
for (i = MaxN - 1; i >= 0; i--)
inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % PYZ;
}
void work() {
n = read(); m = read();
printf("%d\n", 1ll * C(n, m) * D[n - m] % PYZ);
}
int main() {
init(); int T = read();
while (T--) work();
return 0;
}