从交叉熵角度理解caffe中softmax_loss层

一、Caffe中的多分类损失函数采用SoftmaxWithLoss层来计算； 损失函数采用的是交叉熵：


            (1)

其中，k为真是的标签，ak表示每个标签的值，而经过softmax（）之后，则返回每一个标签的概率，N表示一个批量的大小，

          若去掉批量的概念，即 批量数量为1， 可以理解为只输入一张图片， 来确认它的分类， 则损失函数变为：


                             (2)

那这个交叉熵到底需要怎么理解呢？ 他为什么就能作为多分类的损失函数呢？ 他在caffe中是怎么实现的呢？

要理解这几个问题， 首先需要了解下面的预备知识：

二、

        2.1信息量：

          一个信号包含信息的多少， 通常这样的理解或要求：

       1）一个非常有可能发生的事情发生了， 信息量较少；

       2） 一个不太可能发生的事情发生了， 信息量较大，更有价值；

         因此，定义的自信息公式为：

              I(x)= - log(P(x))

         其中，P（x）为事件x发生的概率， 由公式可知： 当px较大时， Ix较小； 当px较小时， Ix较大。

          这个公式能较好的反应Px所携有的信息量。

          2.2 熵

             熵是信息量的期望， 表示随机变量的确定性的度量， 既然是期望，则很容易写出公式：

          H（x）= - Ep*log(px),

                对于二分类问题， 即X要么取0，要么取1；

          则熵H（x）=-[ P(X=0)*log(P(X=0)) +(1-P(X=1))*log(1-P(X=1)) ]

         2.3 交叉熵

                 表示两个分布 距离的度量。

           H（x）= - Ep*log(qx),                           （3）

                   其中p和q 分别表示两个分布；  若这两个分布完全相同， p=x的位置， q也非常确定=x（概率qx=1）， 则-log（qx）=0，两者的Hx维0；

若两个分布差距很大，即在p=x处， q有很小的概率=x， 即 qx很小， 则-log（qx）会很大， 从而导致两者的交叉熵很大。

            因此， 交叉熵是衡量两个分布的工具；

   

           2.4 交叉熵的应用：

          回归到机器学习上， 其实也是两个分布的弥合过程， 一个是带有标签的训练数据的分布， 另一个神经网络参数的预测数据分布， 怎么利用交叉熵呢？

        比如，我们要预测一张图片上有没有人脸，  我们输入x ----> 通过某种映射f（x）来得到0和1， 1表示有人脸，0表示没有人脸， 但这个映射到底是什么呢？？？

        不过幸运的是，大数据的到来，让我们有了很多这样的图片， 同时我们也知道它有没有人脸， 即 我们有了 x------>y, 即我们有x（像素）和y（标签）， 但我们还是不知道映射关系f（x）到底是什么， 但我们可以通过学习来拟合这个映射f（x）， 这里有两个分布：一个是带有标签的训练数据的分布，这个分布是真是存才，并且输出概率是确定的， 另一个神经网络参数的预测数据分布，这个是不断学习的。 我们的目标就是通过不断地学习， 让神经网络的模型分布来接近真是的x--》y的分布， 用什么来衡量这两个分布呢，当然是交叉熵了。

           但你可能会发现交叉熵的公式3， 与caffe中使用的公式2 不相同， 其实那是因为caffe的softmax分类过程中的结果是唯一确定的，
比如 是（0,0,1,0,0,）表示一个5分类问题， 其中这个图片是属于第三类的，  也就是公式3中的 Ep，表示带标签的分布，他是唯一确定取第三类，即 Ep 只有在第三个维1， 在其余4个都为0,， 因此只剩下了-log(); 表示在真是标签上的大小。

            比如， 这个预测的结果也是分类到第三类，且概率为1，即qx=（0,0,1,0,0,）， 则    损失函数=-log（1）=0；    （正确分类）

                     如另一个预测结果也是分类到第二类，且概率为1，即qx=（0,1,0,0,0,），则    损失函数=-log（0）很大， （错误分类），当然为了数值稳定， 不可能真的取到0， 而是很接近0；

          所以 利用公式2中的交叉熵结果， 如果这个结果较大， 则表示两个分布差别较大（真是分布和预测分布）， 表示机器学习的结果不能很好的预测训练集， 跟别说测试集了；当交叉熵的结果（损失函数） 不断减小（梯度下降方法， 随后总结）， 趋于很小时， 表示这两个分布近似，  这个模型可以较好预测这个训练分布的数据。 再用来测试训练集。

三、Caffe中的代码实现

      template <typename Dtype>
void SoftmaxWithLossLayer<Dtype>::Forward_cpu(
const vector<Blob<Dtype>*>& bottom, const vector<Blob<Dtype>*>& top) {
// The forward pass computes the softmax prob values.
softmax_layer_->Forward(softmax_bottom_vec_, softmax_top_vec_); //调用softmax层来计算分类的概率， 其中softmax_top_vec和prob_data指向同一地址
const Dtype* prob_data = prob_.cpu_data();
const Dtype* label = bottom[1]->cpu_data();
int dim = prob_.count() / outer_num_;
int count = 0;
Dtype loss = 0;
for (int i = 0; i < outer_num_; ++i) {
for (int j = 0; j < inner_num_; j++) {
const int label_value = static_cast<int>(label[i * inner_num_ + j]);
if (has_ignore_label_ && label_value == ignore_label_) {
continue;
}
DCHECK_GE(label_value, 0);
DCHECK_LT(label_value, prob_.shape(softmax_axis_)); //prob_data是从softmax层输出的概率结果，
loss -= log(std::max(prob_data[i * dim + label_value * inner_num_ + j],
Dtype(FLT_MIN))); //仅取出对应label的概率，进行取log操作， 来计算损失函数。
++count;
}
}
top[0]->mutable_cpu_data()[0] = loss / get_normalizer(normalization_, count);
if (top.size() == 2) {
top[1]->ShareData(prob_);
}
}

补充： 关于softmax层：
            其实是计算从全连接层进来的分类的概率。

          计算步骤如下：



之所以减掉最大值， 是为了数值稳定。 防止取e操作时，出现无穷大，  或 当x很小时， 由于计算机的误差 将分母取为0的错误。

caffe实现如下：

template <typename Dtype>
void SoftmaxLayer<Dtype>::Forward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& bottom,
const vector<Blob<Dtype>*>& top) {
const Dtype* bottom_data = bottom[0]->cpu_data();
Dtype* top_data = top[0]->mutable_cpu_data();
Dtype* scale_data = scale_.mutable_cpu_data();
int channels = bottom[0]->shape(softmax_axis_);
int dim = bottom[0]->count() / outer_num_;
caffe_copy(bottom[0]->count(), bottom_data, top_data);
// We need to subtract the max to avoid numerical issues, compute the exp,
// and then normalize.
for (int i = 0; i < outer_num_; ++i) {
// initialize scale_data to the first plane
caffe_copy(inner_num_, bottom_data + i * dim, scale_data);
for (int j = 0; j < channels; j++) {
for (int k = 0; k < inner_num_; k++) {
scale_data[k] = std::max(scale_data[k], //取出概率中的大值；
bottom_data[i * dim + j * inner_num_ + k]);
}
}
// subtraction //减掉最大值
caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasNoTrans, channels, inner_num_,
1, -1., sum_multiplier_.cpu_data(), scale_data, 1., top_data);
// exponentiation //取指数
caffe_exp<Dtype>(dim, top_data, top_data);
// sum after exp //求分母的指数和
caffe_cpu_gemv<Dtype>(CblasTrans, channels, inner_num_, 1.,
top_data, sum_multiplier_.cpu_data(), 0., scale_data);
// division //计算除法。
for (int j = 0; j < channels; j++) {
caffe_div(inner_num_, top_data, scale_data, top_data);
top_data += inner_num_;
}
}
}