【20171026】Luogu P1108 低价购买

不忙，
我们先定义几个量（初读可能很难理解，建议先向下看解题过程，再回头看量的定义）：
a[i]表示 "原始序列的第[i]号元素"，
d[i]表示 "以a[i]结尾的最长上升子序列的长度"，
LIS[i]表示 "以a[i]结尾的最长上升子序列"，
没看错，它是个序列恩，即LIS[i]={x,y,z,...,a[i]}，其中x<y<z<...<a[i]；
c[i]表示 "以a[i]结尾的LIS方案数"（依题意，方案不可重复计数），
现在看题！

对于第一问——最长长度：
求最长上升子序列LIS（Longest Increasing Subsequence）的dp方程：
上升！上升！上升！上天~~
则d[i]=max(d[j]+1)，j∈[1,n-1] && a[j]<a[i]，
表示对于每一个a[i]，它都可以接到每一个a[j](保证a[j]<a[i])之后，长度加一，成为一个上升子序列；
所以ans1=
="（每种长度 ）中的（最长者）”
="（每种"部分情况中最长长度"）中的（最长者）"
="（每个d[i]）中的（最长者）"
=max(d[i])，i∈[1,n].②
However，题目要求我们求最长下降子序列（我喜欢叫ta LDS(Longest Decreasing Subsequence) ），
下降！下降！下降！啪~~
则d'[i]=max(1,d'[j]+1)，j∈[1,n-1] && a[j]>a[i]; ①
ans=max(d'[i])，i∈[1,n].

对于第二问——统计方案数（这里直接对下降子序列求解）：
则c[i]=sum(c[j]),j∈[1,n-1] && a[j]>a[i] && d[j]+1==d[i]，③
其中条件 "d[j]+1=d[i]" 表示 "我的a[i]是紧接在LDS[j]末尾的"
但是，题目中要求 "去重" ，即 "包含同样方案的不同位置序列 视为同一种序列"
那么如果j<i && a[j]==a[i] && d[j]==d[i]，则"c[i]代表的方案必定包含着c[j]代表的方案"，
根据③可知，c[i]与c[j]将被重复计算，这是不允许发生的，
所以我们选择保留（排在后面的，包含c[j]的）c[i]，使c[j]=0即可.
于是有c[j]=0,j∈[1,n-1] && a[j]==a[i] && d[j]==d[i]，④

ans2=sum(c[i]), i∈[1,n] && d[i]=ans1⑤

综上所述，解决此题，只需联立①②③④⑤求解即可：

d[i] = max(d[j]+1)， j∈[1,n-1] && a[j]>a[i]，①
ans1 = max(d[i])， i∈[1,n]，②
c[i] = sum(c[j]), j∈[1,n-1] && a[j]>a[i] && d[j]+1==d[i]，③
c[j] = 0, j∈[1,n-1] && a[j]==a[i] && d[j]==d[i]，④
ans2 = sum(c[i]), i∈[1,n] && d[i]=ans1，⑤

下面这代码求第一问没问题了，第二问还有错误，我回去改改

luogu53分代码如下——

code1:

/*
d[i]= max(d[j]+1)，    j∈[1,n-1]&&a[j]>a[i]，①
ans1 = max(d[i])，    i∈[1,n].②
c[i]=sum(c[j]),        j∈[1,n-1]&&a[j]>a[i]&&d[j]+1==d[i]，③
c[j]=0,                j∈[1,n-1]&&a[j]==a[i]&&d[j]==d[i]，④
ans2=sum(c[i]), i∈[1,n]&&d[i]=ans1⑤
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXN 5002
int n;
int a[MAXN],d[MAXN],c[MAXN];
int main()
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(d,0,sizeof(d));
memset(c,0,sizeof(c));
/*我的老师说可以用这种方法来将数组置0*/

scanf("%d",&n);
int i,j;
int ans1,ans2;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}

ans1=ans2=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
d[i]=1;//a[i]本身就可以是一个长度为 1 的LDS
for(j=1;j<i;j++)
{
if(d[j]+1>d[i]&&a[j]>a[i])
d[i]=d[j]+1;
}
if(d[i]>ans1)
ans1=d[i];
}

for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<i;j++)
{
if(a[j]>a[i]&&d[j]+1==d[i])
c[i]+=c[j];
if(a[j]==a[i]&&d[j]==d[i])
c[j]=0;
}
if(d[i]==ans1)
ans2+=c[i];
if(c[i]==0)//如果之前都没有LDS能以a[i]结尾的，那么就说明i自己是一个开头
c[i]=1;//这个初始化的摆放位置非常有内涵，值得思考哦
}

printf("%d %d\n",ans1,ans2);
}

错误处1（未考虑n==1的情况）：code1第50~53行调一下位置，拿到了73分

code2:

if(c[i]==0)//如果之前都没有LDS能以a[i]结尾的，那么就说明i自己是一个开头
c[i]=1;//这个初始化的摆放位置非常有内涵，值得思考哦
if(d[i]==ans1)
ans2+=c[i];