一道切线和圆有关的几何证明题及解析解答
2017-10-25 22:23
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原题
已知,如图,AB 是 ⊙O 的直径,CE、CF 是 ⊙O 的两条切线,D 是 AE 和 BF 的交点。求证: AB⊥CD
画出来动态调整图观察,结论没有问题。只是纯几何的证明太难。
证明
解析的方法是现成的,像是中学可以理解的。 只是过程很繁琐,所以,证明一下。不失一般性(这个说法很酷),假设问题中的圆是单位圆、以圆心为原点建立平面直角坐标系,让直径 AB在纵坐标轴上,从而,两个点的坐标: A(0,−1),B(0,1)。
假设单位圆⊙O 上两个切点的坐标 E(cosθ1,sinθ1),F(cosθ2,sinθ2),
则容易知道直线:
CE的斜率 −cotθ1, CF 的斜率 −cotθ2。
两直线方程可以由点斜式改写为更一般的形式,联立如下:
{y−sinθ1=−(x−cosθ1)cotθ1y−sinθ2=−(x−cosθ2)cotθ2(1)
联立可以求出 C 的纵坐标:
yC=sin(12(θ1+θ2))sec(12(θ1−θ2))
进一步,通过两点式表示方法并转化,可以得到另外两条直线,AE 和 BF 的方程的一般形式,注意到 A、B 的坐标都很简单,方程也不复杂:
{y+1=xsecθ1(sinθ1+1)y−1=xsecθ2(sinθ2−1)(2)
类似解出 D 点纵坐标,发现刚好等于 C 的纵坐标。
所以, CD 跟所建立坐标系中的纵坐标轴垂直,
也就是跟 AB 垂直。解析方法,把几何里面的直线间垂直,转化成两个二元一次线性方程组之间有一个特定解(的解析形式)恒等。
求解和化简繁琐,关键是证明两者相等即可,线性方程组的解因此无须是最简形式。上面只能用于对答案了。
纯几何的证明如果能够利用射影几何的一些定理可行性会大大增加。有些超纲,但是在数学竞赛和自主招生考试中未尝不可。
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