Softmax 回归分析
2017-10-25 17:12
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Softmax 回归分析
Softmax 回归分析简介
代价函数
逻辑回归和softmax之间的关系
使用说明
1 简介
softmax回归模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广,在多分类问题中,类标签 y 可以取两个以上的值。softmax回归模型对于像 MNIST手写数字分类等相关问题的解决上是非常有用的(tensorflow 上手写数字集的demo上就包含对softmax的说明,但是还是看不懂)想象一下在逻辑回归(logistic)中,我们的训练集有 m 个已标注的样本构成:
{(x(1),y(1)),…,(xm,ym)},其中的输入特征xi∈Υn+1 (我们对符号的约定x的维度为n+1,其中x0=1对应截距项。)由于logistic回归是针对二分类问题的,因此类标记yi∈{0,1}。假设函数(hypothesis function)如下:
hθ(x)=11+exp(−θTx)
我们将训练模型参数θ,使其能够最小化代价函数:
J(θ)=−1m[∑i=1my(i)loghθ(xi)+(1−yi)log(1−hθ(x(i)))]
在softmax回归中,我们解决的是多分类问题(相对于logistic回归解决的二分类),类标y可以取k个不同的值,而不是两个,故对于训练集{(x(1),y(2)),…,(x(m),y(m))},我们有y(i)∈{1,2,3,…,k}。在手写数字集MNIST识别中,k=10。
对于给定的测试输入x, 我们想用假设函数针对每一个类别 j 估算出概率值 p(y=j|x)。也就是说,我们想估计x的每一种分类结果出现的概率。因此,我们的假设函数将要输出一个k维的向量(向量元素的和为1)来表示k 个估计的概率值。具体地说,我们的假设函数hθ(x) 形式如下:
hθ(x(i))=⎡⎣⎢⎢⎢⎢p(y(i)=1|x(i);θp(y(i)=2|x(i);θ⋮p(y(i)=k|x(i);θ⎤⎦⎥⎥⎥⎥=1∑kj=1eθTjx(i)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢eθT1x(i)eθT2x(i)⋮eθTkx(i)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
其中θ1,θ2,…,θk∈Υn+1 是模型的参数。请注意 1∑kj=1eθTjx(i) 这一项对概率分布进行归一化,使得所有概率之和为1。
为方便起见,我们同样使用符号θ来表示全部的模型参数,θ 用一个kX(n+1)的矩阵来表示会很方便,矩阵是θ1,θ2,…,θk 按行罗列起来得到的,例如:
θ=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢—θT1——θT2——⋮——θTk—⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
代价函数
1{值为真的表达式}=11{值为假的表达式}=0
代价函数:
J(θ)=−1m⎧⎩⎨⎪⎪∑i=1m∑j=1k1{y(i)=j}logeθTjx(i)∑kl=1eθTlx(i)⎫⎭⎬⎪⎪
该函数其实是logistic回归代价函数的推广,logistic回归函数可以改为:
J(θ)=−1m{∑i=1m(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))+y(i)loghθ(xi)}=−1m⎡⎣⎢⎢∑i=1m∑j=1l1{y(i)=j}logp(y(i)=j|x(i);θ)⎤⎦⎥⎥
从上述公式可以看出,softmax和logistic代价函数在形式上非常类似。softmax回归中,x 分类为 j 的概率为:
p(y(i)=j|x(i);θ)=eθTjx(i)∑kl=1eθTlx(i)
对于J(θ) 目前还没有闭式解法,经过求导得到如下梯度公式:
∇θjJ(θ)=−1m∑i=1m[x(i)(1{y(i)=j}−p(y(i)=j|x(i);θ))]
通过最小化J(θ),我们就能实现一个可用的softmax 回归模型
逻辑回归和softmax之间的关系
当分类仅有两类时,softmax也就退化为逻辑回归了,例如当分类k=2时,softmax函数为:hθ(x)=1eθT1x+eθT2x(x)[eθT1xeθT2x]
注意,softmax回归参数之间是有关联的(概率和为1),故利用该特点,令ψ=θ1,去掉其中一个参数向量θ1故有:
h(x) = 11+e(θ2−θ1)Tx(i)[1e(θ2−θ1)Tx(i)] = ⎡⎣⎢⎢⎢⎢11+e(θ2−θ1)Txi1−11+e(θ2−θ1)Txi⎤⎦⎥⎥⎥⎥
令 θ′=θ2−θ1 即可得出逻辑回归中的公式
使用说明
如果你在开发一个音乐分类的应用,需要对k种类型的音乐进行识别,那么是选择使用 softmax 分类器呢,还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢?这一选择取决于你的类别之间是否互斥,例如,如果你有四个类别的音乐,分别为:古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐,那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签(即:一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种),此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。(如果在你的数据集中,有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类,那么你可以添加一个“其他类”,并将类别数 k 设为5。)
如果你的四个类别如下:人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲,那么这些类别之间并不是互斥的。例如:一首歌曲可以来源于影视原声,同时也包含人声 。这种情况下,使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样,对于每个新的音乐作品 ,我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子,你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是:室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢? (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片,你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢?
在第一个例子中,三个类别是互斥的,因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中,建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。
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