[BZOJ2005][NOI2010]能量采集（莫比乌斯反演）

题意：给定n,m，求∑ni=1∑mi=1(2gcd(i,j)−1)。

容易推出，原式可化为2∑ni=1∑mi=1gcd(i,j)−nm。

而关键就是求∑ni=1∑mi=1gcd(i,j)的值。考虑先枚举gcd(i,j)的值，就可以得到：

原式=∑min(n,m)d=1∑ni=1∑mi=1[gcd(i,j)=d]

=∑min(n,m)d=1∑⌊nd⌋i=1∑⌊md⌋i=1[gcd(i,j)=1]。

而求∑xi=1∑yi=1[gcd(i,j)=1]是莫比乌斯反演中最经典的模型。这个式子等于∑min(x,y)d=1μ(d)⌊xd⌋⌊yd⌋。可以在根号的时间内求出，具体做法可查阅其他资料。

补充一点：如果有多组询问，那么：

∑ni=1∑mi=1gcd(i,j)=∑min(n,m)u=1⌊nu⌋⌊mu⌋∑d|u(μ(ud)∗d)。

∑d|u(μ(ud)∗d)的值和前缀和可以预处理。证明由读者去思考。

代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read() {
int res = 0; bool bo = 0; char c;
while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
return bo ? ~res + 1 : res;
}
typedef long long ll;
const int MaxN = 1e5, N = MaxN + 5;
int n, m, tot, pri
, miu
, sum
;
bool mark
;
void sieve() {
int i, j; mark[0] = mark[1] = 1; miu[1] = 1;
for (i = 2; i <= MaxN; i++) {
if (!mark[i]) pri[++tot] = i, miu[i] = -1;
for (j = 1; j <= tot; j++) {
if (1ll * i * pri[j] > MaxN) break;
mark[i * pri[j]] = 1;
if (i % pri[j] == 0) break;
else miu[i * pri[j]] = -miu[i];
}
}
for (i = 1; i <= MaxN; i++) sum[i] = sum[i - 1] + miu[i];
}
ll solve(int n, int m) {
int i; ll ans = 0;
for (i = 1; i <= min(n, m);) {
int nxt = min(n / (n / i), m / (m / i));
ans += 1ll * (sum[nxt] - sum[i - 1]) * (n / i) * (m / i);
i = nxt + 1;
}
return ans;
}
int main() {
int i; n = read(); m = read(); ll ans = 0; sieve();
for (i = 1; i <= min(n, m); i++)
ans += solve(n / i, m / i) * i;
cout << (ans - 1ll * n * m) * 2 + 1ll * n * m << endl;
return 0;
}