数论——扩展欧几里得

作为一个刚学数论的蒟蒻，看扩欧还是费了半天时间的……

先发一下一道exgcd的题叭qwq 同余方程

一开始看是不会正解的，，，真的是一点也没法跟扩欧联系在一起qwq。然后又重新找各种博客、题解，终于能把这两个东西联系在一起，，，

先看一下扩欧的定义：

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

什么意思呢？举个例子。假设要求 ax ≡ 1 (mod b)，a=3,b=10。

这里c=1,所以gcd(p,q)=1。则3*p+q*y=1。

顺便插一下百度百科给出的递推过程解释：



至于求a的逆元a^{-1}

由定义知道aa^{-1}\ mod\ M=1

那就是求方程ax+My=1的解啦，套扩展欧几里得就可以了。

其他用法反正就是用来解长成这样的方程…

具体代码如下

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int a,b;
int x,y,r,t;
void exgcd(int a,int b)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b);
t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return;
}
int main()
{
cin>>a>>b;
exgcd(a,b);
cout<<(x+b)%b;
return 0;
}