凸优化中的基本概念

1.1 什么是凸集?

简单来说， 凸集是一个点集， 这个点集有一个性质， 就是在这个集合中任取不同的两个点x和y， 他们之间的线段（包括端点）上的点都属于这个点集，那么就说这个点集是一个凸集。
比如下图中左边的图形是凸集，而右边不是，因为我们可以找到两个点，使它们之间的线段上的点不在集合中



数学上，凸集的定义如下：
给定集合

C，











∀x,y∈C，









0≤θ≤1，如果有






















θx+(1−θy)∈C

我们就称集合C是凸集，我们把点

















θx+(1−θy)称为x和y的凸组合。
1.2 什么是凸函数?
假设有一个函数











f:Rn→R，记其定义域为







D(f)，如果







D(f)是凸集，且在其中任取两个点





x,y，满足以下性质：
























































f(θx+(1−θy))≤θf(x)+(1−θ)f(y)

那么就称

f为凸函数。
注意：定义域是凸集这个要求不是必须的，其出发点只是为了使x，y的凸组合有定义
关于凸函数，直观上可以用下图来加深理解：



简单来说，我们在定义域任取两个点x，y， 连接他们得到一条线段，如果这个线段上的点都位于对应函数值上方，我们就说该函数是一个凸函数。
更进一步，如果





x≠y且









0<θ<1我们称

f是严格凸的。如果



−f是凸函数，那么

f就是凹函数。如果



−f是严格凸函数，那么

f就是严格凹函数。
1.3 凸函数的等价判别方法
上面我们讲了什么是凸函数，然而这个定义在现实中很难用于判断一个函数是不是凸的，因此介绍几个等价的定义。
1.3.1 一阶近似
假设函数











f:Rn→R是可导函数（也就是说







f(x)的梯度











∇xf(x)在整个定义域上都存在），则

f是凸函数当且仅当
其定义域是凸集，且对于所有的















x,y∈D(f)有下式成立：












































f(y)≥f(x)+∇xf(x)T(y−x)

我们将

































f(x)+∇xf(x)T(y−x)叫做对f的一阶近似，其物理意义实际上是经过点x的切平面，我们用这个切平面上的点来近似







f(y)。这个公式的含义是：如果f是凸函数，那么它的一阶近似值始终位于函数值的下方。



1.3.2 二阶近似
假设函数











f:Rn→R二阶可导（即海塞矩阵在定义域上都有定义），则f是凸函数当且仅当
其定义域是凸集且其海塞矩阵半正定，即：


















∇x2f(x)⪰0

可能有些同学忘了海塞矩阵长什么样了，这里提一下。假设我们的变量来自n维空间，即







x∈Rn，我们记

















































x=(x1,x2,...,xn)={xi}i=1n，即由n个变量组成的向量。那么海塞矩阵（记为H吧）是一个





n×n的方块矩阵，且
































Hij=∂2f(x)∂xi∂xj

也就是说，





Hij是f(x)分别对



xi和



xj进行求导两次得到的。
1.4 凸优化问题
上面已经介绍了凸集和凸函数，是时候到凸优化了吧？ 别急，在介绍凸优化概念之前再啰嗦两句。
1.4.1 水平子集(sublevel sets)
由凸函数的概念出发，我们可以引出水平子集（sublevel set）的概念。假定f(x)是一个凸函数， 给定一个实数





α∈R，我们把集合






























{x∈D(f)|f(x)≤α}

叫做



α−水平子集。
也就是说

α水平子集是所有满足











f(x)≤α的点构成的集合。利用凸函数性质，我们可以证明水平子集也是凸集：
















































































f(θx+(1−θy))≤θf(x)+(1−θ)f(y)≤θα+(1−θ)α=α

水平子集告诉我们，给凸函数添加一个上限，定义域内剩下的点构成的点集还是一个凸集。
1.4.2 仿射函数(affine functions)
数学上，我们把形如


















h(x)=Ax+b

的函数叫做仿射函数。其中，







An×m，一个向量







b∈Rm。直观上理解，仿射函数将一个n维空间的向量通过线性变换A映射到m维空间，并在其基础上加上向量b，进行了平移。
同理，我们可以证明，点集






























{x∈D(h)|h(x)=0}

是一个凸集，证明略。
1.4.3 凸优化(convex optimization)
那么回到凸优化问题上来， 什么是一个凸优化问题？
一个凸优化问题可以定义为：



其中f是一个凸函数，C是一个凸集。根据先前介绍过的水平子集等概念，上面问题又可以等价写为：



其中，g(x)是凸函数,h(x)是仿射函数。 也就是说，原约束集C被我们表示为一系列凸集的交集（数学上可以证明，凸集的交集还是凸集）。
1.4.4 局部最优（local optima）和全局最优（global optima）
局部最优：周围小范围 内没有比我小的点。
数学定义：
如果存在





R>0，对于所有的z：















∥x−z∥2<R，有

















f(x)≤f(z)，那么就称x是一个局部最优点。
全局最优：我就是整个定义域中的最小的点。
数学定义：
如果对于定义域内的所有z，有

















f(x)≤f(z)，则称x是全局最优。
现在回到凸优化问题上， 对于凸优化问题，有一个很重要的结论：
对于凸函数来讲， 局部最优就是全局最优。证明如下：
我们用反证法证明。设

x是一个局部最优，但不是全局最优，于是我们假设全局最优是



z∗，那么我们有



















f(x)>f(z∗)
由x的局部最优性质，我们有 ：
存在





R>0，对于所有的z：















∥x−z∥2<R，有

















f(x)≤f(z)
我们考虑

x和



z∗的凸组合：























z=θx+(1−θ)z∗，无论



z∗在哪里，我们总可以找到一个

θ，使得

z位于

x的邻域内，使得

















f(x)≤f(z)
另一方面，由凸函数性质，我们有：
















































































































f(z)=f(θx+(1−θ)z∗)≤θf(x)+(1−θ)f(z∗)<θf(x)+(1−θ)f(x)=f(x)

由此得

















f(z)<f(x)，这与

















f(x)≤f(z)矛盾，
于是我们证明了如果

x是局部最优，那么同时它也是全局最优。
1.5 常见凸优化问题

线性规划

如果

f和



gi都是仿射函数，则凸优化问题变为了线性规划问题：



二次规划

线性规划中，如果

f变为一个凸二次函数，则凸优化问题变为二次规划：



二次约束二次规划


f和



gi都是凸二次函数



半定规划



其中，







X∈Sn是一个n维对称方阵，并且我们将它约束为半正定矩阵。







C,Ai都是对称矩阵。这和前面的问题有点不太相同，前面是优化一个向量，而这里是优化一个矩阵。