51nod 1486 大大走格子【组合数学】【DP】

Description

有一个h行w列的棋盘，里面有一些格子是不能走的，现在要求从左上角走到右下角的方案数。

题解

考虑一个n∗m的矩阵，从左上角走到右下角的方案数为Cn−1n+m−2。发现直接求答案很难，运用补集思想，只要求出经过了障碍的方案书就可以了，定义f[i]表示排序后从左上角走到第i个障碍，如果从左上角走到i的路上没有其他的障碍的话，显然可以直接求，如果有其他的障碍，就要减去经过这个障碍的方案数f[j]∗Ca[i].x−a[j].xa[i].x−a[j].x+a[i].y−a[j].y;最后答案就是总方案数减去所有的f[i]∗{i到右下角的方案数}的和。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define maxn 2006
#define maxm 100006
#define tt 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
inline char nc(){
static char buf[100000],*i=buf,*j=buf;
return i==j&&(j=(i=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),i==j)?EOF:*i++;
}
inline int _read(){
char ch=nc();int sum=0;
while(!(ch>='0'&&ch<='9'))ch=nc();
while(ch>='0'&&ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=nc();
return sum;
}
struct data{
int x,y;
bool operator <(const data&b)const{return x<b.x||(x==b.x&&y<b.y);}
}a[maxn];
int w,h,n;
LL ans,g[maxm*2],f[maxn],inv[maxm*2];
LL power(LL x,int y){
if(!y)return 1;
if(y==1)return x%tt;
LL c=power(x,y>>1);
if(y&1)return c*x%tt*c%tt;
else return c*c%tt;
}
LL C(int x,int y){return g[x]*inv[y]%tt*inv[x-y]%tt;}
int main(){
freopen("square.in","r",stdin);
freopen("square.out","w",stdout);
h=_read();w=_read();n=_read();
for(int i=1;i<=n;i++)a[i].x=_read(),a[i].y=_read();
sort(a+1,a+1+n);
g[0]=1;inv[0]=1;
for(int i=1;i<=w+h;i++)g[i]=g[i-1]*i%tt,inv[i]=power(g[i],tt-2);
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=C(a[i].x+a[i].y-2,a[i].x-1);
for(int j=1;j<i;j++)if(a[j].x<=a[i].x&&a[j].y<=a[i].y)(f[i]-=f[j]*C(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x)%tt)%=tt;
(ans+=f[i]*C(h-a[i].x+w-a[i].y,h-a[i].x))%=tt;
}
printf("%lld\n",((C(h+w-2,h-1)-ans)%tt+tt)%tt);
return 0;
}