BZOJ 2142 礼物 扩展lucas定理

Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E
心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人
，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某
个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100

4 2

1

2

Sample Output

12

【样例说明】

下面是对样例1的说明。

以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：

1/23 1/24 1/34

2/13 2/14 2/34

3/12 3/14 3/24

4/12 4/13 4/23

【数据规模和约定】

设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。

对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

HINT

传送门
被大佬秒cdq并称之为“裸题”吓懵了，赶紧找水题、、

答案比较明显，就是每次得到一个x[i],
答案累计上C(n,x[i])，并且n=n-x[i]即可。
问题就是模数不是质数而且范围很大。
那么就是裸的扩lucas了。。
pi^ci<=10^5，所以一开始分解质因子的时候只用取10^5内的素数。
然后中国剩余定理啊啥的乱搞搞好了。
推荐一下这篇，总结得比较清楚。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int
MAX=100000;
ll n,mod;
int pcnt,len;
ll prime[6000],p[10000],pk[10000],c[10000];
bool notprime[MAX];
void Get_Prime(){
notprime[1]=1,pcnt=0;
for (int i=2;i<=MAX;i++){
if (!notprime[i]) prime[++pcnt]=i;
for (int j=1;j<=pcnt;j++){
if (prime[j]*i>MAX) break;
notprime[prime[j]*i]=1;
if (!(i%prime[j])) break;
}
}
}
void FenJie(ll x){
len=0;int j=1;
while (x!=1){
if (x%prime[j]==0){
p[++len]=prime[j],c[len]=0;
pk[len]=1;
while (x%prime[j]==0)
c[len]++,x/=prime[j],pk[len]*=prime[j];
}
j++;
}
}
ll ksm(ll x,ll y,ll mod){
ll z=1LL;
while (y){
if (y&1LL) z=z*x%mod;
y>>=1LL;
x=x*x%mod;
}
return z;
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if (!b){
x=1LL,y=0LL;
return a;
}
ll tt=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
x=y,y=tmp-a/b*y;
return tt;
}
ll inv(ll a,ll b){
ll t1,t2;
exgcd(a,b,t1,t2);
t1=(t1+b)%b;
return t1;
}
ll Fac(ll n,ll pi,ll pk){
if (!n) return 1LL;
ll t=1LL;
if (n/pk){
for (ll i=2;i<=pk;i++)
if (i%pi) t=t*i%pk;
t=ksm(t,n/pk,pk);
}
for (ll i=2;i<=n%pk;i++)
if (i%pi) t=t*i%pk;
return t*Fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll pi,ll pk){
if (n<m) return 0LL;
l
4000
l x=Fac(n,pi,pk),y=Fac(m,pi,pk),z=Fac(n-m,pi,pk);
ll t=0LL;
for (ll a=n;a;a/=pi) t+=a/pi;
for (ll a=m;a;a/=pi) t-=a/pi;
for (ll a=n-m;a;a/=pi) t-=a/pi;
return x*ksm(pi,t,pk)%pk*inv(y,pk)%pk*inv(z,pk)%pk;
}
ll C(ll n,ll m){
ll t=0LL,t1;
for (int i=1;i<=len;i++){
t1=Lucas(n,m,p[i],pk[i]);
t1=t1*(mod/pk[i])%mod*inv(mod/pk[i],pk[i])%mod;
t=(t+t1)%mod;
}
return t;
}
int main(){
Get_Prime();
scanf("%lld",&mod);
FenJie(mod);int m;
scanf("%lld%d",&n,&m);

ll x,ans=1LL;
while (m--){
scanf("%lld",&x);
ans=(ans*C(n,x))%mod;
n-=x;
if (n<0) return puts("Impossible"),0;
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}