【Lucas定理】洛谷1869[愚蠢的组合数]题解

题目概述

求 (xy​) 的奇偶性。

解题报告

实际上就是求 (xy) mod 2 ，但是 x 和 y 太大了。

所以要用到Lucas定理：

(xy)=(x mod py mod p)×⎛⎝⌊xp⌋⌊yp⌋⎞⎠

证明可以参考百度百科“Lucas定理”（其实就是我不会）。

那么递归处理的效率为 O(plogpx) ，预处理阶乘和逆元之后效率为 O(p+logpx) ，两个方法只要 p 大都不适用了。

还可以注意到，这其实是一个转 p 进制的过程。

其实可以更简单……由于是 mod 2 ，所以是转二进制的过程，把 (xy) 拆开，只会有这么几个：

(00)=1,(01)=0,(10)=1,(11)=1

这说明当二进制下 x 某一位上是 0 ，但 y 该位上是 1 时，值为 0 ，否则值为 1 。

也就是判断 x and y 是否 =y （ y 为 1 的位置上 x 是否均等于 1 ）。

示例程序

呵呵：

#include<cstdio>
using namespace std;

int te,n,m;

int main()
{
freopen("program.in","r",stdin);
freopen("program.out","w",stdout);
for (scanf("%d",&te);te;te--) {scanf("%d%d",&n,&m);putchar(((n&m)==m)+48);putchar('\n');}
return 0;
}

Lucas模板：

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD=2;

int te,n,m,fac[MOD+5],INV[MOD+5];

void Make()
{
fac[0]=INV[0]=INV[1]=1;for (int i=2;i<MOD;i++) INV[i]=MOD-(LL)(MOD/i)*INV[MOD%i]%MOD;
for (int i=1;i<MOD;i++) fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%MOD,INV[i]=(LL)INV[i-1]*INV[i]%MOD;
}
#define C(x,y) ((x)<(y)?0:((LL)fac[(x)]*INV[(y)]%MOD*INV[(x)-(y)]%MOD))
inline int Locas(int x,int y) {int ans=1;while (y) ans=(LL)ans*C(x%MOD,y%MOD)%MOD,x/=MOD,y/=MOD;return ans;}
int main()
{
freopen("program.in","r",stdin);
freopen("program.out","w",stdout);
for (Make(),scanf("%d",&te);te;te--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%d\n",1-(Locas(n,m)+MOD-1)%MOD);
}
return 0;
}