数学笔记14——微积分第一基本定理

微积分第一基本定理

　　如果F’(x) = f(x)，那么：



　　如果将F用不定积分表示，F =∫f(x)dx，微积分第一基本定理可以看作为是两个不定积分赋予特定的值，再用符号连接起来，计算具体的数值。

　　这里引入一个新符号：



　　于是：

示例1

　

示例2

　　

示例3

　　f(x) = sinx，求下图阴影部分的面积





　　这实际上是积分的几何意义。

再看积分的几何意义

　　如果s = S(t)是距离关于时间的函数，那瞬时速度就是S’(t) = ds/dt = V(t)，从时间a到时间b所经过的距离是：



　　dt = 1秒，用黎曼和表示：



　　V(t)就是汽车仪表盘上的速度，  

就是行驶的里程。

　　如果行驶一段时间后掉头，再回到出发点，按照黎曼和表示法将会出现相反的速度，最后的结果是0。这样看来， 

 表示的就是位移而不是行驶里程，其里程应当是  


　　再来看一个例子，曲线是sinx，0 ≤ x ≤ 2π，求曲线和x轴间两个驼峰的面积。



 


　　这肯定不对了，原因是上篇文章提到的概念：“ 

是y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积”并不完全正确。当曲线在x轴上方是，定积分才是面积；在下方是，面积（积分值）是负的。之前的几何解释是不完全的，它掩盖了某些事实，关于定积分真正的几何解释是：定积分是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

定积分的性质

定积分的换元法

　　变量替换是定积分的另一个性质，这个性质结合了不定积分的换元法（关于换元法的描述：数学笔记11——微分和不定积分）。定积分换元法性质：



　　这个性质仅在u’在积分限上不变号时才有效，即u’(x)和u(x)在[x1, x2]上必须同号。

示例1

示例2

　　这是正确答案。如果使用换元法：



　　答案是错误的，其违反了定积分换元法的约束条件，u = x2, u’ = 2x，当x = -1时，u’ = -2，当x = 1时， u' = 2, u’不同号。对于此例，du = 2xdx实际上应该是 dx =± u-1/2du/2

再看第一定理

　　如果F’(x) = f(x)



　　这是定理的标准形式，用F去解释f。现在换个角度，用f去理解F，可以写成：



　　仅仅是反过来写了一遍，但这种形式对以后的理解至关重要。现在，



 　　等式的右边可以看作f的均值：



　　average(f)需要用黎曼和解释。如果a = 0, b = n，Δx=1，



　　等式左边是离散情况下的均值，右边是连续情况下的均值，如果是计算面积，右边要更加精确。如果用ΔF = Average(F’) Δx理解第一基本定理，就是F的该变量等于其微小改变的平均值乘以流逝的时间。

中值定理

　　之前介绍过中值定理：f(x)在[a, b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，且 a < c < b，



　　换成上一节的写法就是



　　F’(C)是不确定的，而第一基本定理得到了一个确定的值。可以将中值定理看作第一基本定理的泛化，第一基本定理要比中值定理更“强”。事实上，只要能够使用第一基本定理，就不去使用中值定理。

　　既然是中值定理，就一定存在：

第一基本定理与中值定理结合

示例

　　F’(x) = 1/(1 + x), F(0) = 1, F(4)的取值范围？

 

　　解法一：用中值定理求解



　　解法二：用微积分求解



　　综上，4/5 < F(4) < 5

　　可以用画图法理解微积分求解， 

被积函数是y=1,  

被积函数是y=1/5

 


　　如上图所示，∫dx/(1+x)计算的是 y = 1/(1+x)在[0,4]内与x轴的面积；最大值和最小值是将曲线变成一个矩形，这可以看作是朴素的黎曼和。微积分之所以更加精确，正是因为将曲线分成了更多的矩形。

综合示例

示例1

　　第二个式子也可以用上述方法计算，但是可以使用更简单的方法直接得到答案。



　　如上图所示，tanx 在[-π/3, π/3]上是关于原点对称的，根据定积分的几何意义，x轴上方的面积减去x轴下方的面积，故可以直接得出答案0。

　　注：

示例2

总结

　　1.定积分第一基本定理：如果F’(x) = f(x)，那么：


　　2.定积分的几何意义是x轴上方的面积减去x轴下方的面积。

　　3.定积分的性质：


　　4.定积分换元法