用Python学《微积分B》（多元函数的极限）

  先回顾一下“一元微分学”部分的知识链：数轴 -> 数列 -> 数列的收敛 -> （不等式）数列的极限 -> 一元函数的极限 -> 一元函数的连续性 -> 一致连续 -> 导数 -> 微分。

  从上面的链条可以看出：数列是一维空间（数轴）的、离散的研究对象；而函数二维空间（平面）的、连续的研究对象。而多元函数微积分（Multivarialbe Calculus）是对之前“一元微分学”的维度扩展。

一、点列

1，从“数列”（sequence）到“点列”（point range）

  从几何角度来看，数列是分布在数轴上的点，而点列是分布在平面或空间中的点。它们之间的主要差异是维度不一样，也可以将数列看作一维的点列。

1）数列中两个元素的距离

dis(a,b)=|b−a|=|x2−x1|,a,b∈R

2）二维点列（平面）中两点的距离

dis(A⃗ ,B⃗ )=|B⃗ −A⃗ |=(x2−x1)2+(y2−y1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√,A⃗ ,B⃗ ∈R2

3）三维点列中两点的距离

dis(A⃗ ,B⃗ )=|B⃗ −A⃗ |=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√,A⃗ ,B⃗ ∈R3

  依次类推，可以扩展到n维点列，都可以将它们转换为n维向量的运算。

2，点列的收敛

  数列收敛的定义是

limn→∞|an−A|=0

注：上式的绝对值可以去掉，极限的定义本身就是用绝对值不等式来描述的。

   Rn 中点列收敛的定义是借助 distance 来表示的（P - point）

limm→∞dis(Pm,P0)=0

  从向量的角度来说，上式等价于

limm→∞|Pmk−P0k|=0

  即向量的各分量之差趋于零。

二、平面点集和n维空间

1，平面点集

  在平面直角坐标系中，任意一点 P(x,y) ，包含来两个坐标值。换句话说，它是一个二元组（tuple）—— (x,y)。用集合的概念来表示平面点集如下：

E={(x,y)|(x,y)具有性质P}

例如：中心在原点，半径为 r 的圆内的所有点，可以表示为：

C={(x,y)|x2+y2<r2}

或者

C={P||OP|<r}

2，邻域

U(P0,δ)={(x,y)|(x−x0)2+(y−y0)2−−−−−−−−−−−−−−−−√<δ}

注：很明显，上式使用距离（distance）来描述的

  去心邻域

U˙(P0,δ)={P|0<|PP0|<δ}

3，内点、外点、边界点

  利用邻域可以很方便的描述点与点集的关系，常见的有：内点、外点和边界点（ ∂E ）。

4，聚点

  如果对于任意给定的 δ>0 ，点P的去心邻域 U˙(P0,δ) 内总有 E 中的点，则称P是E的聚点。

5，开集、闭集

  主要看 ∂E 与 E 的关系

6，连通集、区域（连通的开集）、闭区域

  区域 .vs 区间

7，有界集与无界集

注：本节的概念较多，准确定义可以去看教科书。

8，n维空间 —— Rn

  数轴到平面再到三维空间，依此类推，可以知道 Rn 实际上是由 n 元组或n维向量来描述。

三、多元函数

1，多元函数（multi-variable function）的概念

  顾名思义，它是有多个自变量的函数，比如：圆柱体体积 V=πr2h ，它与柱面的半径和柱体的高都相关。

  很显然，多元函数的定义域与一元函数的定义域的表示方式是不一样的：一元函数的定义域是数轴上的一个区间，而多元函数是定义域是点集。比如二元函数 z=arcsin(x2+y2) 它的定义域是平面上的一个圆

{(x,y)|x2+y2≤1}

注：为了方便讨论，后面一般只讨论二元函数，多元函数可以另行扩展。

2，二元函数的极限（二重极限）

  函数的极限不同于数列的极限：数列的极限只有 n→+∞ 一种趋势，而函数的极限可以是 x→x0 ，即任一点都可以取极限。先回顾一元函数的极限

limx→x0f(x)=A

  对于一元函数来讲，自变量被限制在x轴上，根据极限的定义： x→x0 的方式只有三种：从左边趋近、从右边趋近、或者在左右两边跳动绝对值趋近。

  二元函数极限的定义是

lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A

  从上式可以看出，它是平面上的两个点的趋近 P(x,y)→P0(x0,y0) ，很明显，平面上两个点的趋近方式（路径）有无数种，这就决定了二元极限要比一元极限复杂的多。例：

lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2

(x,y) 可以沿不同的直线 y=kx 趋向于原点

lim(x,y)→(0,0)xyx2+y2=limx→0,y=kxxyx2+y2=limx→0x∗kxx2+(kx)2=kk2+1

很明显，极限值是不同的。再来看

lim(x,y)→(0,0)x2+y2x2+y=limx→0,y=kxx2+y2x2+y=limx→0x2+(kx)2x2+(kx)=0

我们能说这个极限存在，且等于0吗？换条路径再看 y=−x2+x3

lim(x,y)→(0,0)x2+y2x2+y=limx→0,y=−x2+x3x2+y2x2+y=limx→0x2+(−x2+x3)2x3→∞

事实上，我们只能以邻域的方式来描述平面上两个点的趋近。

3，求二元函数的极限

  一般利用极限的性质转化为一元函数的极限，例如：

lim(x,y)→(0,2)sin(xy)x=lim(x,y)→(0,2)[sin(xy)xy⋅y]=limxy→0sin(xy)xy⋅limy→2y=1⋅2=2

4,二次极限

  直接看例子，注意它与二重极限的关系

limy→0[limx→0xyx2+y2]=?

  在求 x 的极限时，将 y 当常数看待，故有

limy→0[limx→0xyx2+y2]=limy→0[limx→00⋅y02+y2]=limy→0[0]=0

5，二元函数的连续性

  二元函数的连续性与一元函数的连续性是相似，包括：点连续、一致连续、介值定理、有界性与最大最小值定理。具体可以参考教材。

lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)

注：关于多元函数的极限和连续性，可以参考 wiki - multivariable calculus

四、课后习题

Exercise 10-1-1-2

  以下 R2 的子集不是闭区域的是

{(x,y)|x+y2≥1}

解：先画图

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
y = np.linspace(-5, 5)
x = 1 - y ** 2
plt.plot(x, y)
plt.grid()
plt.show()

  如上图所示，这个点集位于曲线外围 y≥1−x−−−−−√ory≤−1−x−−−−−√

Exercise 10-1-1-4

  (0,0)是以下函数f(x,y)的定义域的内点的是：

f(x,y)=x√ln(x+y)

f(x,y)=x+yx2+y2

f(x,y)=arcsinxy

f(x,y)=ln(1−x2−y2)

解： (0,0)是 A 的边界点， B 的聚点，非内点； C 的聚点，边界点， D 的内点。

#Exercise 10-1-1-5
from sympy import *
init_printing()
x,y,u,v = symbols('x y u v')
expr = (3 * u ** 2 * v + v ** 3 ) / 4
simplify(expr.subs({u:(x+y), v:(x-y)}))

x3−y3