【算法】Dijkstra算法（单源最短路径问题） 邻接矩阵和邻接表实现

Dijkstra算法可使用的前提：不存在负圈。

负圈：负圈又称负环,就是说一个全部由负权的边组成的环,这样的话不存在最短路,因为每在环中转一圈路径总长就会边小。

算法描述：

　　1.找到最短距离已确定的顶点，从它出发更新相邻顶点的最短距离。

　　2.以后不需要再关心1中的“最短距离已确定的顶点”。

C++代码：

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 2147483647
#define MAX_V 1000
#define MAX_E 2000

//单源最短路径问题（Dijkstra算法）

int cost[MAX_V][MAX_V];  //cost[u][v]表示e = (u,v)的权值
int d[MAX_V];        //顶点s出发的最短距离
bool used[MAX_V];    //标记使用过的点
int V;          //顶点数

void dijkstra(int s){
fill(d, d+V, INF);
fill(used, used + V, INF);
d[s] = 0;

while(true){
int v = -1;

//找到一个距离最近的没有使用过的点
for(int u = 0;u < V; u++){
if(!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v])) v = u;
}
//如果所有的点都被使用过了，则break
if(v == -1) break;

//标记当前点被使用过了
used[v] = true;

//更新这个找到的距离最小的点所连的点的距离
for(int u = 0;u < V; u++){
d[u] = min(d[u], d[v] + cost[v][u]);
}

}
}

int main(){
}

我们会发现，如果边比较少的话，用邻接矩阵特别耗时间和空间。

时间复杂度O（V^2）

所以边比较少的话，有一种邻接矩阵的写法，对其优化一下，

时间复杂度O（E*log（V））

C++代码：

#include <bits\stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 2147483647
#define MAX_V 1000
#define MAX_E 2000

//单源最短路径问题（Dijkstra算法）

struct edge{
int to,cost;
};

typedef pair<int, int> P;  //first是最短距离，second是顶点的编号

int V;    //顶点数
vector <edge> G[MAX_V];   // 边
int d[MAX_V];            // d[i]表示i离源点的最短距离

void dijkstra(int s){
//通过指定greater<P> 参数，优先队列是用堆实现的，堆按照first从小到大排序。
priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > que;

fill(d, d+V, INF);
d[s] = 0;

//加源点入最小堆
que.push(P(0,s));

while(!que.empty()){
//取出堆顶的点，也就是距离最小的点
P p = que.top(); que.pop();
int v = p.second;

//如果这个点在加入队列之后更新过，就不必再更新
if(d[v] < p.first) continue;

//遍历当前点相邻的所有点
for(int i = 0;i < G[v].size(); i++){
edge e = G[v][i];
//如果这个点能更新其他点，就将被更新的那个点加入队列。
if(d[e.to] > d[v] + e.cost){
d[e.to] = d[v] + e.cost;
que.push(P(d[e.to], e.to));
}
}
}
}

int main(){
}