JZOJ 5408. 【NOIP2017提高A组集训10.21】Dark

题目大意

一个长度为N 的非负整数序列{Ai}，每次它可以选择这个序列中的两个相邻的正整数，让他们的值同时减一并CNT++，直到不存在满足条件的数。

问CNTmin。

题解

题目条件：只能让相邻的都>0的数削减1。

要求什么：最小的削减次数。（我们可以将问题转化为剩下的数和最大）

30分直接暴力。

60分，研究一下暴力时最优解的A[]。可以发现后面的数越大答案越优。因为序列递增，我们要剩下的数和最大，那么可以贪心地想，一定是将后面的数保留得越大越好。

所以从后往前做，每三个一组，尝试将每组最后一个数变得最大。

所以每组前两个最后变为0，第三个数也相应地减少。

注意特判一下最后一组是否有3个数。

100分：DP。

时间复杂度：O(ΣAi)

设f[i][j][0/1]表示第i个数为j，0表示第i-1个数为0，1表示第i-1个数不为0。

f[i][j][0]=min(f[i][j][0],f[i−1][a[i]−j][0/1])+a[i]−j

表示原本的a[i]上面被削掉了a[i]−j，那么如果现在第i-1为为0，那么原本应为a[i]−j。注意削掉的部分要≤a[i−1]。

f[i][j][1]=min(f[i][j][1],min(f[i−1][k])(k∈[a[i]−j+1,a[i−1]]))+a[i]−j

表示若a[i−1]还没被削完，现在i和i-1被削了a[i]−j，那么原来的a[i−1]应该≥a[i]−j+1。

转移的时候注意考虑A[i−1]的大小，记得开滚动数组。

总结

①一个必要的条件：削减a[i]只会受a[i-1]的影响。所以这个DP很好做。

②为什么第三维要设[0/1]，因为要保证做的时候，确保1~i的所有状态都是最优的(即不存在相邻两正数)，设了就可以确保这个。

不设的话就有可能将a[i−2]>0且a[i−1]>0的情况算进f[i]内。

③暴力的时候查看有没有拿部分分的突破口，这样可能会拿到更多的分。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define MAXN 5000010
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
int i,j,k,l,n,m,mx,ans,o,temp;
int a
;
int f[2][MAXN][2],g[MAXN];
int main(){
freopen("dark.in","r",stdin);
freopen("dark.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
fo(i,1,n)scanf("%d",&a[i]),mx=max(a[i],mx);
fo(i,0,mx)f[0][i][0]=f[0][i][1]=g[i]=2139062143;
f[0][0][0]=f[0][0][1]=0;
o=0;
fo(i,1,n){
o=1-o;
fo(j,0,a[i])f[o][j][0]=f[o][j][1]=2139062143;
fd(j,a[i],0){
if(a[i]-j+1>a[i-1])break;
f[o][j][1]=min(f[o][j][1],g[a[i]-j+1]+a[i]-j);
}
temp=min(a[i-1],a[i]);
fo(j,0,temp){
f[o][a[i]-j][0]=min(f[o][a[i]-j][0],f[1-o][j][0]+j);
f[o][a[i]-j][0]=min(f[o][a[i]-j][0],f[1-o][j][1]+j);
}
g[a[i]+1]=2139062143;
fd(j,a[i],0)g[j]=min(g[j+1],f[o][j][0]);
}
ans=f[o][0][1];
fo(i,0,a
)ans=min(ans,f[o][i][0]);
printf("%d",ans);
return 0;
}