现代控制理论基础总结

现代控制理论基础总结（线性部分）

学习现代控制理论也有两个月的时间了，里面涉及的基础内容和公式十分之多，所以现在对各部分基础知识作一个总结。

1、控制系统的状态表达式

在现代控制理论中，状态空间这是基础，如何从日常生活中系统推导出状态空间表达式十分重要。

1.1、从实际系统建立状态空间方程

上图是一个直流电机的示意图，图中R，L为电枢回路的电阻和电感，J为旋转机械部分转动惯量，B为旋转部分粘性摩擦系数

建立状态方程首先要选取独立的系统变量，这里选取电流i和旋转速度w，即：



上述动力学方程是基于转矩平衡方程得出，Jdwt为电机转动力矩，Bw为负载力矩，Kai为电机输出力矩。

所以将x1=i,x2=w代入上式可得：

1.2、从n阶微分方程建立状态方程

引用现代控制理论中的公式：



我们知道状态方程的标准形式如下：



式1.19中

当m<n时，状态方程中D=0；

当m=n时，状态方程中D=bm≠0；

1.2.1、传递函数没有零点时的实现

例：对于下式微分方程

y...+6y¨+41y˙+7y=6u

选取独立变量y/6，y˙/6，y¨/6，即x1=y/6，x2=y˙/6，x3=y¨/6

因此有：

x˙1=y˙/6=x2

x˙2=y¨/6=x3

x˙3=y.../6=−7x1−41x2−6x3+u

可得矩阵方程：

⎡⎣⎢x˙1x˙2x˙3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢00−710−4101−6⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥+⎡⎣⎢001⎤⎦⎥u

输出矩阵：

y=6x1=[600]⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥

1.2、状态变量的线性变换（坐标变换）

对于原状态矢量x，总是可以找到非奇异矩阵T作线性变换，得到新矢量z。

即：z=T−1x

将上式代入状态方程可得：

1.2.1、非奇异矩阵T求解

1、求系统特征值

对于系统



可知其特征方程：

|λI−A|=0

存在特征矢量方程：

1）当特征值λ不存在重根时

λiPi=APi

2）当特征值λ存在重根时

λi−1Pi−APi=−Pi−1

因此当A是3阶矩阵时得：

T=[P1P2P3]

2、系统为约旦标准型



注意上式中J=A中A并非原状态方程A，存在等式：



即J=T−1AT

例如以下例题：





P3和P1求法相同，可得T：



自然约旦方程的各个系数就可以根据T求出。

3、系统A为标准型