您的位置：首页 > 其它

矩阵的运算及其运算规则

2017-10-21 21:22 169 查看


　　满足矩阵方程

，求未知矩阵

．

　　解　由已知条件知

　  　

 

　　　　

 

三、矩阵与矩阵的乘法

　　1、 运算规则 

　　设

，

，则A与B的乘积

是这样一个矩阵：

　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即

．

　　(2) C的第

行第

列的元素

由A的第

行元素与B的第

列元素对应相乘，再取乘积之和．
　　典型例题 

　　例6.5.2　设矩阵



　　计算

 

　　解　

是

的矩阵．设它为

　　　　

 

 

 

 

　　　　

 

 

 

 

　　想一想：设列矩阵

，行矩阵

，

和

的行数和列数分别是多少呢

 

　　

是3×3的矩阵，

是1×1的矩阵，即

只有一个元素．
　　课堂练习 

　　1、设

，

，求

．

　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．

　　3、设列矩阵

，行矩阵

，求

和

，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？

　　4、设三阶方阵

，三阶单位阵为

，试求

和

，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．
　　解： 

　　第1题


．
　　第2题

　　对于


，

．
　　求

是有意义的，而

是无意义的．
　　结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．

　　第3题

　　

是

矩阵，

是

的矩阵．

　　　       

 

．

            

 

 

    结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在

与

均有意义时，也未必有

=

成立．可见矩阵乘法不满足交换律．

　　第4题

　　计算得：

．
　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即

．

　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．
　　典型例题 

　　例6.5.3　设

，试计算

和

．

　　解　

 

　　　　　　

 

　　　　　　

．

　　　　

 

　　　　　　

 

　　　　　　

 

    结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若

，不能得出

或

的结论．
　　例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组



　　可以写成矩阵的形式


 

＝


　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为


 

，

，

，
　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：

．
　　2、 运算性质（假设运算都是可行的） 

　　(1)　结合律　

．

　　(2)　分配律　

（左分配律）；

　　　　　　　　　

（右分配律）．

　　(3)　

．
　　 3、 方阵的幂 

 

定义：设A是方阵，

是一个正整数，规定


，


显然，记号

表示

个A的连乘积．



四、矩阵的转置

　　1、 定义

 

定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作

或

．



　　例如，矩阵

的转置矩阵为

．

　　2、运算性质（假设运算都是可行的）

　　(1)　

 

　　(2)　

 

　　(3)　

 

　　(4)　

，

是常数．
　　典型例题 

　　例6.5.5  利用矩阵



　　验证运算性质：

 

　　解　

 

 

 

；

　　而

　　　　

 

　　所以

　　　

．

 

定义：如果方阵满足

，即

，则称A为对称矩阵．



　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式

　　1、定义

 

定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作

或

．



　　2 、运算性质 

　　(1) 

 （行列式的性质）

　　(2) 

，特别地：

 

　　(3) 

（

是常数，A的阶数为n）

　　思考：设A为

阶方阵，那么

的行列式

与A的行列式

之间的关系为什么不是

，而是

？
　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下

和

．

　　例如

，则

．

　　于是

，而

 

．

　　思考：设

，有几种方法可以求

？

　　解  方法一：先求矩阵乘法

，得到一个二阶方阵，再求其行列式．

　　　　方法二：先分别求行列式

，再取它们的乘积．


　　满足矩阵方程

，求未知矩阵

．

　　解　由已知条件知

　  　

 

　　　　

 

三、矩阵与矩阵的乘法

　　1、 运算规则 

　　设

，

，则A与B的乘积

是这样一个矩阵：

　　(1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即

．

　　(2) C的第

行第

列的元素

由A的第

行元素与B的第

列元素对应相乘，再取乘积之和．
　　典型例题 

　　例6.5.2　设矩阵



　　计算

 

　　解　

是

的矩阵．设它为

　　　　

 

 

 

 

　　　　

 

 

 

 

　　想一想：设列矩阵

，行矩阵

，

和

的行数和列数分别是多少呢

 

　　

是3×3的矩阵，

是1×1的矩阵，即

只有一个元素．
　　课堂练习 

　　1、设

，

，求

．

　　2、在第1道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是A在左边，B在右边，称为A左乘B或B右乘A．如果交换顺序，让B在左边，A在右边，即A右乘B，运算还能进行吗？请算算试试看．并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算．

　　3、设列矩阵

，行矩阵

，求

和

，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？

　　4、设三阶方阵

，三阶单位阵为

，试求

和

，并将计算结果与A比较，看有什么样的结论．
　　解： 

　　第1题


．
　　第2题

　　对于


，

．
　　求

是有意义的，而

是无意义的．
　　结论1　只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数＝右矩阵的行数．

　　第3题

　　

是

矩阵，

是

的矩阵．

　　　       

 

．

            

 

 

    结论2　在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序．即使在

与

均有意义时，也未必有

=

成立．可见矩阵乘法不满足交换律．

　　第4题

　　计算得：

．
　　结论3　方阵A和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为A，即

．

　　单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数1在我们普通乘法中的作用．
　　典型例题 

　　例6.5.3　设

，试计算

和

．

　　解　

 

　　　　　　

 

　　　　　　

．

　　　　

 

　　　　　　

 

　　　　　　

 

    结论4　两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．由此若

，不能得出

或

的结论．
　　例6.5.4　利用矩阵的乘法，三元线性方程组



　　可以写成矩阵的形式


 

＝


　　若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为


 

，

，

，
　　则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式：

．
　　2、 运算性质（假设运算都是可行的） 

　　(1)　结合律　

．

　　(2)　分配律　

（左分配律）；

　　　　　　　　　

（右分配律）．

　　(3)　

．
　　 3、 方阵的幂 

 

定义：设A是方阵，

是一个正整数，规定


，


显然，记号

表示

个A的连乘积．



四、矩阵的转置

　　1、 定义

 

定义：将矩阵A的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作

或

．



　　例如，矩阵

的转置矩阵为

．

　　2、运算性质（假设运算都是可行的）

　　(1)　

 

　　(2)　

 

　　(3)　

 

　　(4)　

，

是常数．
　　典型例题 

　　例6.5.5  利用矩阵



　　验证运算性质：

 

　　解　

 

 

 

；

　　而

　　　　

 

　　所以

　　　

．

 

定义：如果方阵满足

，即

，则称A为对称矩阵．



　　对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等．

五、方阵的行列式

　　1、定义

 

定义：由方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作

或

．



　　2 、运算性质 

　　(1) 

 （行列式的性质）

　　(2) 

，特别地：

 

　　(3) 

（

是常数，A的阶数为n）

　　思考：设A为

阶方阵，那么

的行列式

与A的行列式

之间的关系为什么不是

，而是

？
　　不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下

和

．

　　例如

，则

．

　　于是

，而

 

．

　　思考：设

，有几种方法可以求

？

　　解  方法一：先求矩阵乘法

，得到一个二阶方阵，再求其行列式．

　　　　方法二：先分别求行列式

，再取它们的乘积．
内容来自用户分享和网络整理，不保证内容的准确性，如有侵权内容，可联系管理员处理 点击这里给我发消息
标签： 
相关文章推荐
新的分享
章节导航