18种和“距离(distance)”、“相似度(similarity)”相关的量的小结

在计算机人工智能领域，距离(distance)、相似度(similarity)是经常出现的基本概念，它们在自然语言处理、计算机视觉等子领域有重要的应用，而这些概念又大多源于数学领域的度量(metric)、测度(measure)等概念。

这里拮取其中18种做下小结备忘，也借机熟悉markdown的数学公式语法。

英文名	中文名	算式	说明
Euclidean Distance	欧式距离	d=∑i=1n(xi−yi)2−−−−−−−−−−√	以古希腊数学家欧几里得命名的距离；也就是我们直观的两点之间直线最短的直线距离
Manhattan Distance	曼哈顿距离	d=∑i=1n|xi−yi|	是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇；是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和；也就是和象棋中的“車”一样横平竖直的走过的距离；曼哈顿距离是超凸度量
Minkowski Distance	闵氏距离	d=∑i=1n(xi−yi)p−−−−−−−−−−√p	以俄罗斯数学家闵可夫斯基命名的距离；是欧式距离的推广，p=2时等价于欧氏距离，和p-范数等值
Hamming Distance	海明距离	逐个字符(或逐位)对比，统计不一样的位数的个数总和	所得值越小，参与对比的两个元素约相似；下面是从wikipedia借的4bit的海明距离示意图
Jaccard Coefficient	杰卡德距离	J(A,B)=|A⋂B||A⋃B|	越大越相似；分子是A和B的交集大小，分母是A和B的并集大小
Ochiai Coefficient	?	K=n(A⋂B)n(A)×n(B)−−−−−−−−−−√
Pearson Correlation	皮尔森相关系数	r=∑ni=1(Xi−x¯)(yi−y¯)∑ni=1(Xi−x¯)2−−−−−−−−−−−−√∑ni=1(yi−y¯)2−−−−−−−−−−−√	分子是两个集合的交集大小，分母是两个集合大小的几何平均值。是余弦相似性的一种形式
Cosine Similarity	余弦相似度	S=x⋅y|x||y|
Mahalanobis Distance	马氏距离	d=(x⃗ −y⃗ )TS−1(x⃗ −y⃗ )−−−−−−−−−−−−−−−−√ 其中S是x和y的协方差矩阵	印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法；若协方差矩阵是对角阵(diagonal)，则该距离退化为欧式距离
Kullback-Leibler Divergence	K-L散度	D(P||Q)=∑i=1nP(i)logP(i)Q(i)	即相对熵；是衡量两个分布(P、Q)之间的距离；越小越相似
PMI(Pointwise Mutual Information)	点对互信息	pmi=logp(x,y)p(x)p(y)=logp(y|x)p(y)	利用co-occurance来衡量x和y的相似度；越大越相关；可以看做局部点的互信息(mutual information)
NGD(Normalized Google Distance)	?	NGD(x,y)=max{logf(x),logf(y)}−logf(x,y)logM−min{logf(x),logf(y)}	这是google用来衡量两个不同的关键字(keyword)的检索结果之间的相关程度；其中f(x)代表包含了关键字x的页面数量，f(x,y)代表同时包含了关键字x和关键字y的页面的数量，M代表google所搜索的总页数；若两个关键字总是成对出现在页面上，那么NGD值为0，相反的，如果两个关键字在所有页面上都没有同时出现过，那么NGD值为无穷；该量是从normalized compression distance (Cilibrasi & Vitanyi 2003)衍生而来的
Levenshtein Distance(Edit Distance)	Levenshtein距离(编辑距离)	f(n)= ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪max(i,j)min⎧⎩⎨⎪⎪leva,b(i−1,j)+1leva,b(i,j−1)+1leva,b(i−1,j−1)+1(ai≠bj)if min(i,j)=0,otherwise.	是指两个字串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数；俄罗斯科学家Vladimir Levenshtein在1965年提出这个概念；编辑距离越小的两个字符串越相似，当编辑距离为0时，两字符串相等
Jaro-Winkler Distance	?	⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪013(m|s1|+m|s2|+m−tm)if m=0otherwise
Lee Distance	李氏距离	d=∑i=1n|xi−yi|	在编码理论(coding theory)中两个字符串间距离的一种度量方法
Hellinger Distance	?	H2(P,Q)=12√∫(dPdλ−−−√−dQdλ−−−√)2dλ−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ 当dP/dλ、dQ/dλ为概率密度函数时，进一步有 H2(P,Q)=1−∫f(x)g(x)−−−−−−−√dx−−−−−−−−−−−−−−−√	注意在作为概率意义的计算时需在测度空间进行；通常被用来度量两个概率分布的相似度，它是f散度的一种；由Ernst Helligner在1909年引进
Canberra Distance	坎贝拉距离	d(p⃗ ,q⃗ )=∑i=1n|pi−qi||pi|+|qi| where p⃗ =(p1,p2,⋯,pn) and q⃗ =(q1,q2,⋯,qn)
Chebyshev Distance	切比雪夫距离	DChebyshev(p,q)=maxi(|pi−qi|)=limk→∞(∑i=1n|pi−qi|k)1/k	切比雪夫距离是由一致范数(uniform norm)(或称为上确界范数)所衍生的度量，也是超凸度量