洛谷P1373 小a和uim之大逃离（DP）

洛谷P1373 小a和uim之大逃离（DP）

题目背景

小a和uim来到雨林中探险。突然一阵北风吹来，一片乌云从北部天边急涌过来，还伴着一道道闪电，一阵阵雷声。刹那间，狂风大作，乌云布满了天空，紧接着豆大的雨点从天空中打落下来，只见前方出现了一个披头散发、青面獠牙的怪物，低沉着声音说：“呵呵，既然你们来到这，只能活下来一个！”。小a和他的小伙伴都惊呆了！

题目描述

瞬间，地面上出现了一个n*m的巨幅矩阵，矩阵的每个格子上有一坨0~k不等量的魔液。怪物各给了小a和uim一个魔瓶，说道，你们可以从矩阵的任一个格子开始，每次向右或向下走一步，从任一个格子结束。开始时小a用魔瓶吸收地面上的魔液，下一步由uim吸收，如此交替下去，并且要求最后一步必须由uim吸收。魔瓶只有k的容量，也就是说，如果装了k+1那么魔瓶会被清空成零，如果装了k+2就只剩下1，依次类推。怪物还说道，最后谁的魔瓶装的魔液多，谁就能活下来。小a和uim感情深厚，情同手足，怎能忍心让小伙伴离自己而去呢？沉默片刻，小a灵机一动，如果他俩的魔瓶中魔液一样多，不就都能活下来了吗？小a和他的小伙伴都笑呆了！

现在他想知道他们都能活下来有多少种方法。

输入输出格式

输入格式：

第一行，三个空格隔开的整数n，m，k

接下来n行，m列，表示矩阵每一个的魔液量。同一行的数字用空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示方法数。由于可能很大，输出对1 000 000 007取余后的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2 3

1 1

1 1

输出样例#1：

4

说明

【题目来源】

lzn改编

【样例解释】

样例解释：四种方案是：(1,1)->(1,2),(1,1)->(2,1),(1,2)->(2,2),(2,1)->(2,2)。

【数据范围】

对于20%的数据，n,m<=10,k<=2

对于50%的数据，n,m<=100,k<=5

对于100%的数据，n,m<=800,1<=k<=15

解题分析

从任意点出发，当走到某一步时（两人所取的魔液的次数相同），判断两人的魔瓶中的魔液是否相同，如果相同，则方案数加1。假设矩阵为matrix。

因此在构造状态方程时，需要考虑当前两人魔瓶中魔液的差值。

设f1(i, j, x)表示当走到（i, j）时，uim取魔液，两人魔液差值为x的方案数。f2(i, j, x)表示当走到（i, j）时，a取魔液，两人魔液差值为x的方案数。这里，魔液差值是指a魔瓶中的魔液量减去uim魔瓶中的魔液量，如果为负数，则加k,使之在0~k-1之间。

当uim在(i, j)处取魔液时，则在(i+1, j)和(i, j+1)处由a取魔液。假设在(i+1, j)处两人的魔液的差值为x1时，在(i, j)处两人的对应的魔液差值为x，此时魔液差值减少matrix[i][j]，则有(x1-matrix[i][j])%k = x，因此，x1 = (x + matrix[i][j])%k。(i, j+1)同理。因此：

f1(i, j, k) += f2(i+1, j, (x + matrix[i][j])%k) + f2(i, j+1, (x + matrix[i][j])%k)

同样，当a在(i, j)处取魔液时，在(i, j)处的魔液差比在(i+1, j)和(i, j+1)的魔液差多matrix[i][j]，因此：

f2(i, j, k) += f1(i+1, j, (x - matrix[i][j])%k) + f1(i, j+1, (x - matrix[i][j])%k)

当到达(i, j)时，如果是uim取，且魔液差为0，则是一种可行的方案，在结果中加入f1(i, j, 0)即可。
初始化：若从(i, j)出发，则此时看成是a取魔液，则魔液差为metrix[i][j]的方案数为1，即f2[i][j][metrix[i][j]]=1。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include

using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define N 802
int n, m, k, matrix

, f1

[16]={0}, f2

[16]={0};

void get_i(int &x){
char ch = getchar();
x = 0;
while(!isdigit(ch)) ch = getchar();
while(isdigit(ch)){
x = x * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
}

int mod_k(int x){
if(x>=0)
return x%k;
while(x<0)
x+=k;
return x;
}

int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
int i, j, x, y, ans = 0;
get_i(n), get_i(m), get_i(k);
k++;
for(i=0; i=0; i--)
for(j=m-1; j>=0; j--){
for(x=0; x