BZOJ 3505: [Cqoi2014]数三角形 计数原理
2017-10-20 21:30
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3505: [Cqoi2014]数三角形
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 1752 Solved: 1080
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Description
给定一个nxm的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。
Input
输入一行,包含两个空格分隔的正整数m和n。Output
输出一个正整数,为所求三角形数量。Sample Input
2 2Sample Output
76数据范围
1<=m,n<=1000HINT
Source
题解:设k为点数。如果我们不考虑不合法的情况,显然答案就等于C(k,3)。
但由于存在三点共线的情况,所以我们需要把这些不合法的答案减掉。
行和列的很好处理,主要考虑对角线。
第(i,j)个点和(1,1)的连线上总共有gcd(i-1,j-1)-1个点在方格上,把(1,1)至(i,j)看作一个矩形,所以另一个对角线的答案一样。而整个图形总共有(n-i+1)* (m-i+1)个这样的矩形。
所以这样一个矩形不合法的点对数就是gcd(i-1,j-1)* (n-i+1)*(m-i+1)*2
至于为什么是gcd,可以利用三角形相似来理解,或者自己画图瞎搞一下。
#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; int n,m; ll ans=0; int gcd(int a,int b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);} int main(){ scanf("%d%d",&n,&m);++n,++m; int k=n*m; ans=1LL*k*(k-1)*(k-2)/6; ans-=1LL*n*(n-1)*(n-2)/6*m; ans-=1LL*m*(m-1)*(m-2)/6*n; for(int i=2;i<=n;++i){ for(int j=2;j<=m;++j){ int x=gcd(j-1,i-1)-1; if(x<=0) continue; ans-=1LL*x*(n-i+1)*(m-j+1)*2; } } #ifdef ONLINE_JUDGE printf("%lld\n",ans); #else printf("%I64d\n",ans); #endif return 0; }
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