[hiho第92周]Miller-Rabin素性测试的c++实现

证明：

如果n是素数，整数$a$ 与$n$ 互素，即$n$ 不整除$a$ ，则${a^{n - 1}} \equiv 1(\bmod n)$ ，如果能找到一个与$n$ 互素的整数$a$ ，是的上式不成立，则可以断定$n$ 是合数，反之则不成立，这类合数我们称之为Carmichael数。当上式成立时，称$n$ 为以$a$ 为底的伪素数。

以上测试素数的方法称为fermat测试。

Miller-Rabin素性检验是在上面的基础上加上一个二次探测定理。

强伪素数：设$n - 1 = {2^s}t$ ，$2\nmid t$ ，$b$ 与$n$ 互素。若${b^t} \equiv 1(\bmod n)$ 或存在$r$ ， $0 \le r \le s$ 使得${b^{{2^r}t}} \equiv - 1(\bmod n)$ ，则称n为以b为底的强伪素数。

当$n$ 为素数时，他一定是从任何数$b$ 为基的强伪素数，以$b$为基的强伪素数一定是以$b$为基的伪素数。

二次探测定理：如果p是奇素数，则 ${x^2} \equiv 1(\bmod p)$ 的解为$x \equiv 1$ 或 $x \equiv p - 1(\bmod p)$

如果${a^{n - 1}} \equiv 1(\bmod n)$成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个$a$进行测试，而是看$n-1$ 是不是偶数。如果$n-1$ 是偶数，另$u = \frac{{n - 1}}{2}$，并检查是否满足二次探测定理即${a^u} \equiv 1$或${a^u} \equiv n - 1(\bmod n)$。若不满足，则为合数。

定理：若n是奇合数，则在区间$0 < b < n$ 中，最多有25%的数$b$ ，能使$n$ 是以$b$ 为基的强伪素数。

所以，结果的正确率为$1 - \frac{1}{{{4^k}}}$

复杂度：$O(S\log n)$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<cmath>
typedef long long ll;
using namespace std;
const int S=20;
ll mod_mul(ll a,ll b,ll p){
ll res=0;
a%=p,b%=p;
while(b){
if(b&1)res=(res+a)%p;
a=(a<<1)%p;
b>>=1;
}
return res;
}
ll mod_pow(ll x,ll n,ll p){
ll res=1;
while(n){
if(n&1)res=mod_mul(res,x,p);
x=mod_mul(x,x,p);
n>>=1;
}
return res;
}

bool check(ll a,ll n,ll x,ll t){//判断是否为合数
ll ret=mod_pow(a,x,n);
ll last=ret;
for(int i=1;i<=t;i++){
ret=mod_mul(ret,ret,n);
if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1)return 1;
last=ret;
}
if(ret!=1) return 1;//fermat测试
return 0;
}

bool Miller_Rabin(ll n){
if(n<2)return 0;
if(n==2)return 1;
if((n&1)==0)return 0;
ll x=n-1,t=0;
while((x&1)==0)x>>=1,t++;
for(int i=0;i<S;i++){
ll a=rand()%(n-1)+1;
if(check(a,n,x,t))return 0;//合数
}
return 1;
}

int main(){
ll t,n;
scanf("%lld",&t);
while(t--){
scanf("%lld",&n);
if(Miller_Rabin(n))printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
return 0;
}