【bzoj4318】OSU! 期望dp

题目描述

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

输入

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。 

输出

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 

样例输入

3 

0.5 

0.5 

0.5

样例输出

6.0

题解：此题是BZOJ 3450 点升级版，根据立方差公式(x+1)3−x3=3x2+3x+1

可以维护x和x^2，维护两个值的期望值，用条件期望的公式，x1=（x1+1)*P:（到达次状态的期望值+贡献值）* 概率，x2 用平方差公式维护.

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
int main(){
double P , x1=0.0 , x2=0.0 , ans = 0.0;
scanf("%d",&n);
while(n--){
scanf("%lf",&P);
ans = ans+(( + 1.0 + x1*3.0 + x2*3.0)*P);
x2 = ((x2+ x1*2.0 + 1.0) * P) ;
x1 = ( (x1+1.0) * P );
}
printf("%.1lf",ans);
return 0;
}

(x+1)3−x3=3x2+3

(x+1)3−x3=3x2+3x+1
(x+1)3−x3=3x2+3x+1