求两个字符串的编辑距离

原文

很多程序都需要利用到字符串的比较，而字符串的编辑距离在字符串相似性比较中，应用广泛。下面分享字符串编辑距离的求解。

概念

  字符串的编辑距离，又称为Levenshtein距离，由俄罗斯的数学家Vladimir Levenshtein在1965年提出。是指利用字符操作，把字符串A转换成字符串B所需要的最少操作数。其中，字符操作包括：
删除一个字符
插入一个字符
修改一个字符
  例如对于字符串"if"和"iff"，可以通过插入一个'f'或者删除一个'f'来达到目的。
  一般来说，两个字符串的编辑距离越小，则它们越相似。如果两个字符串相等，则它们的编辑距离（为了方便，本文后续出现的“距离”，如果没有特别说明，则默认为“编辑距离”）为0（不需要任何操作）。不难分析出，两个字符串的编辑距离肯定不超过它们的最大长度（可以通过先把短串的每一位都修改成长串对应位置的字符，然后插入长串中的剩下字符）。

问题描述

  给定两个字符串A和B，求字符串A至少经过多少步字符操作变成字符串B。

问题分析

  1）首先考虑A串的第一个字符
  假设存在两个字符串A和B，他们的长度分别是lenA和lenB。首先考虑第一个字符，由于他们是一样的，所以只需要计算A[2...lenA]和B[2...lenB]之间的距离即可。那么如果两个字符串的第一个字符不一样怎么办？可以考虑把第一个字符变成一样的（这里假设从A串变成B串）：
修改A串的第一个字符成B串的第一个字符，之后仅需要计算A[2...lenA]和B[2...lenB]的距离即可；
删除A串的第一个字符，之后仅需要计算A[2...lenA]和B[1...lenB]的距离即可；
把B串的第一个字符插入到A串的第一个字符之前，之后仅需要计算A[1...lenA]和B[2...lenB]的距离即可。
  2）接下来考虑A串的第i个字符和B串的第j个字符。

  我们这个时候不考虑A的前i-1字符和B串的第j-1个字符。如果A串的第i个字符和B串的第j个字符相等，即A[i]=B[j]，则只需要计算A[i...lenA]和B[j...lenB]之间的距离即可。如果不想等，则：
修改A串的第i个字符成B串的第j个字符，之后仅需要计算A[i+1...lenA]和B[j+1...lenB]的距离即可；
删除A串的第i个字符，之后仅需要计算A[i+1...lenA]和B[j...lenB]的距离即可；
把B串的第j个字符插入到A串的第i个字符之前，之后仅需要计算A[i...lenA]和B[j+1...lenB]的距离即可。
  写到这里，自然会想到用递归求解或者动态规划求解，由于用递归会产生很多重复解，所以用动态规划。

构建动态规划方程

  用edit[i][j]表示A串从第i个字符开始和B串从第j个字符开始的距离。则从上面的分析，不难推导出动态规划方程：


，其中


（1）源串S有字符X，目标串T空白，即“S：字符X，T：空白”。要让S变成T，则意味着源串S要删除字符X，可得方程dp[i−1][j]+1。

（2）源串S空白，目标串T有字符Y，即“S：空白，T：字符Y”。要让S变成T，则意味着源串S要插入字符Y，可得方程dp[i][ j−1]+1。

（3）源串S中的字符X与目标串T中的字符Y对应，即“S：字符X，T：字符Y”。要让S变成T，则意味着要把源串S中的字符X替换成目标串T中的字符Y，可得方程dp[i−1][j−1]+(s[i] ==t[j]?0:1)。

    综上所述，如果用dp[i][j]表示源串S[0..i]和目标串T[0..j]的最短编辑距离，则可以写出简单的深度优先状态方程：

dp[i][j]=min{dp[i−1][j]+1, dp[i][j−1]+1, dp[i−1][j−1]+(S[i]==T[j] ? 0 : 1) }

/**
* 计算两个字符串的编辑距离
* @param str1 需要比较的字符串
* @param str2 需要比较的字符串
* @return 两个字符串的编辑距离
*/
public int editDistance(String str1,String str2){

int lenStr1=str1.length();
int lenStr2=str2.length();
int[][] edit=new int[lenStr1+1][lenStr2+1];
for(int i=1;i<=lenStr1;i++){
edit[i][0]=i;
}
for(int j=1;j<=lenStr2;j++){
edit[0][j]=j;
}

for(int i=1;i<=lenStr1;i++){
for(int j=1;j<=lenStr2;j++){
if(str1.charAt(i-1)==str2.charAt(j-1)){
edit[i][j]=edit[i-1][j-1];
}else{
edit[i][j]=Math.min(edit[i-1][j], edit[i][j-1],edit[i-1][j-1])+1;
}
}
}

return edit[lenStr1][lenStr2];
}

问题扩展

实际上，“编辑距离”问题在搜索引擎中有着重要的用途。例如，搜索引擎关键字查询中拼写错误的提示，如图5-2所示，当输入Jult后，因为没有Jult这个单词，所以搜索引擎猜测你可能是输入错误，继而会提示你是不是找July。