[BZOJ]2707: [SDOI2012]走迷宫 期望+高斯消元

Description

Morenan被困在了一个迷宫里。迷宫可以视为N个点M条边的有向图，其中Morenan处于起点S，迷宫的终点设为T。可惜的是，Morenan非常的脑小，他只会从一个点出发随机沿着一条从该点出发的有向边，到达另一个点。这样，Morenan走的步数可能很长，也可能是无限，更可能到不了终点。若到不了终点，则步数视为无穷大。但你必须想方设法求出Morenan所走步数的期望值。

题解：

这道题似乎是目前做的这种题目中最难的一道了……也很难写……几乎是全程%zyf2000，说一下大概的做法：一个显然的状态表示：f[i]表示到i点的期望步数。首先跑一次Tarjan，对于同一个连通分量里面的点，它们的f是会互相影响的，所以对于这些点需要用高斯消元来解，就是根据f[y]=∑x可以到yf[x]+1degree[y]（degree[y]表示y的入度）这个式子，来列方程求解。对于不在一个连通分量里面的点，若x有连向y的边，那就直接加到f[y]上就好了。因为到了t点就停止，所以我们把原来的边反过来，从t开始推，f[t]=0就方便推了。然后说一下INF的判断方法：1、到不了t。2、存在一个可以到达的不包含t的连通分量，并且它的出度为0，因为这样就有几率到达不了终点，步数为INF，期望为步数*概率，还是INF。还有为什么我边数开小会TLE？

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int Maxn=10010;
const double eps=1e-10;
int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,s,t;
int ex[1000010],ey[1000010];
struct Edge{int y,next;}e[1000010],_e[1000010];
int last[Maxn],len=0;
int _last[Maxn],_len=0;
void ins(int x,int y)
{
int t=++len;
e[t].y=y;e[t].next=last[x];last[x]=t;
t=++_len;swap(x,y);
_e[t].y=y;_e[t].next=_last[x];_last[x]=t;
}
int b[Maxn][110];
int dfn[Maxn],low[Maxn],sta[Maxn],top=0,id=0,bel[Maxn],cnt=0,po[Maxn];
bool in[Maxn];
void Tarjan(int x)
{
sta[++top]=x;in[x]=true;
low[x]=dfn[x]=++id;
for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
{
int y=e[i].y;
if(!dfn[y])Tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
else if(in[y])low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
if(low[x]==dfn[x])
{
int i;cnt++;po[cnt]=0;
do
{
i=sta[top--];
in[i]=false;
b[cnt][++po[cnt]]=i;
bel[i]=cnt;
}while(i!=x);
}
}
double a[110][110],f[Maxn];
void gauss(int n)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(abs(a[i][i])<=eps)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(abs(a[j][i])>eps)
{
for(int k=i;k<=n+1;k++)swap(a[j][k],a[i][k]);
break;
}
}
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(abs(a[j][i])>eps)
{
double t=a[j][i]/a[i][i];
for(int k=i;k<=n+1;k++)a[j][k]-=t*a[i][k];
}
}
for(int i=n;i;i--)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
a[i][n+1]-=a[i][j]*a[j][n+1];
a[i][n+1]/=a[i][i];
}
}
bool can1[Maxn],can2[Maxn];
void work(int x)
{
can1[x]=can2[bel[x]]=true;
for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
{
int y=e[i].y;
if(can1[y])continue;
work(y);
}
}
int outd[Maxn],degree1[Maxn],num[Maxn];
queue<int>q;
int main()
{
n=read();m=read();s=read();t=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
ex[i]=read(),ey[i]=read();
ins(ex[i],ey[i]);degree1[ex[i]]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++)if(!dfn[i])Tarjan(i);
work(s);if(!can1[t]){puts("INF");return 0;}
for(int i=1;i<=m;i++)
if(bel[ex[i]]!=bel[ey[i]])outd[bel[ex[i]]]++;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
if(bel[t]!=i&&!outd[i]&&can2[i]){puts("INF");return 0;}
q.push(bel[t]);
while(!q.empty())
{
int o=q.front();q.pop();
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=po[o];i++)num[b[o][i]]=i;
for(int j=1;j<=po[o];j++)
{
int x=b[o][j];a[j][j]-=degree1[x];
if(abs(f[x])>eps)a[j][po[o]+1]=-f[x]*degree1[x];
for(int i=last[x];i;i=e[i].next)
{
int y=e[i].y;
if(bel[y]!=o)continue;
a[j][num[y]]+=1.0;a[j][po[o]+1]-=1.0;
}
if(x==t)
{
for(int i=1;i<=po[o]+1;i++)a[j][i]=0.0;
a[j][j]=1.0;
}
}
gauss(po[o]);
for(int j=1;j<=po[o];j++)
{
int x=b[o][j];
f[x]=a[j][po[o]+1];
for(int i=_last[x];i;i=_e[i].next)
{
int y=_e[i].y,by=bel[y];
if(by==o)continue;
outd[by]--;if(!outd[by])q.push(by);
f[y]+=(f[x]+1.0)/degree1[y];
}
}
}
printf("%.3lf",f[s]);
}