取整运算⌊a⌋, ⌈a⌉的一些数学理论的总结

∀a∈R,⌊a⌋={n∈Z:n≤a<n+1}

唯一性证明：

m≤a<m+1,n≤a<n+1⇒m≤a<n+1,n≤a<m+1

⇒m≤n,n≤m⇒m=n

∀a∈R,⌈a⌉={n∈Z:n−1<a≤n}

唯一性证明：

m−1<a≤m,n−1<a≤n⇒m−1<a≤n,n−1<a≤m

⇒m≤n,n≤m⇒m=n

∀a∈R,a−1<⌊a⌋≤a≤⌈a⌉<a+1

证明： ⌊a⌋≤a<⌊a⌋+1,⌈a⌉−1<a≤⌈a⌉

∀a,b∈R,a≤b⇒⌊a⌋≤⌊b⌋

证明： a≤b⇒⌊a⌋≤a≤b<⌊b⌋+1

∀a,b∈R,a≤b⇒⌈a⌉≤⌈b⌉

证明： a≤b⇒⌈a⌉−1<a≤b≤⌈b⌉

∀a∈R,∀n∈Z,⌊a⌋≥n⇔a≥n,⌊a⌋<n⇔a<n

证明： a≥n⇒⌊a⌋≥⌊n⌋=n

∀a∈R,∀n∈Z,⌈a⌉≤n⇔a≤n,⌈a⌉>n⇔a>n

证明： a≤n⇒⌈a⌉≤⌈n⌉=n

∀a∈R,∀n∈Z,⌊a+n⌋=⌊a⌋+n

证明： ⌊a⌋≤a<⌊a⌋+1⇒⌊a⌋+n≤a+n<⌊a⌋+n+1

∀a∈R,∀n∈Z,⌈a+n⌉=⌈a⌉+n

证明： ⌈a⌉−1<a≤⌈a⌉⇒⌈a⌉+n−1<a+n≤⌈a⌉+n

∀a,b∈R,a≥0,b≥0,⌊a⌋⌊b⌋≤⌊ab⌋≤ab≤⌈ab⌉≤⌈a⌉⌈b⌉

∀n∈Z,⌈n2⌉+⌊n2⌋=n

证明：

1） n=2k,k∈Z:⌈n2⌉=⌊n2⌋=k, 结论显然成立。

2） n=2k+1,k∈Z:⌈n2⌉=k+1,⌊n2⌋=k, 结论也成立。

∀n∈Z,⌈−n2⌉=−⌊n2⌋

证明：

1） n=2k,k∈Z:⌈−n2⌉=−⌊n2⌋=−k, 结论显然成立。

2） n=2k+1,k∈Z:⌈−n2⌉=−k,−⌊n2⌋=−k, 结论也成立。

∀a∈R,a≥0,m,n∈Z+,⌊⌊a/m⌋n⌋=⌊amn⌋

证明： ⌊a/m⌋n≤a/mn=amn⇒⌊⌊a/m⌋n⌋≤⌊amn⌋

n×⌊amn⌋≤⌊n×amn⌋=⌊am⌋⇒⌊amn⌋≤⌊a/m⌋n⇒⌊amn⌋≤⌊⌊a/m⌋n⌋

∀a∈R,a≥0,m,n∈Z+,⌈⌈a/m⌉n⌉=⌈amn⌉

证明： ⌈a/m⌉n≥a/mn=amn⇒⌈⌈a/m⌉n⌉≥⌈amn⌉

⌈am⌉=⌈n×amn⌉≤n×⌈amn⌉⇒⌈a/m⌉n≤⌈amn⌉⇒⌈⌈a/m⌉n⌉≤⌈amn⌉

∀m,n∈Z+,⌈nm⌉≤n+(m−1)m

证明： 令k=⌈nm⌉,k∈Z, 则：

k−1<nm≤k⇒mk<m+n⇒mk≤m+n−1⇒k≤n+(m−1)m

∀m,n∈Z+,⌈mn⌉=⌊n+(m−1)m⌋

证明： ⌊n+(m−1)m⌋≤n+(m−1)m<nm+1≤⌈nm⌉+1⇒⌊n+(m−1)m⌋≤⌈nm⌉

∀m,n∈Z+,⌊nm⌋≥n−(m−1)m

证明： 令k=⌊nm⌋,k∈Z, 则：

k≤nm<k+1⇒mk>n−m⇒mk≥n−m+1⇒k≥n−(m−1)m

∀m,n∈Z+,⌊nm⌋=⌈n−(m−1)m⌉

证明：

⌈n−(m−1)m⌉≥n−(m−1)m>nm−1≥⌊nm⌋−1⇒⌈n−(m−1)m⌉≥⌊nm⌋

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