Hdu 1573 X问题 拓展欧几里得 解题报告

Problem Description

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

Sample Input

3

10 3

1 2 3

0 1 2

100 7

3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

10000 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample Output

1

0

3

思路

明显是求中国剩余定理解的个数 。

用三个等号表示同余

N===a1(mod r1)

N===a2(mod r2)

以两个为例，则x=a1+r1*x=a2+r2*y，根据后两者就可以建立方程 r1*x-r2*y=a2-a1，扩展欧几里德可搞。

解出x之后 可知N=a1+r1+x，明显这是其中一组解，N+K*（r1*r2）/gcd都是解。

如果有多个，则两两求，新的式子可以写成N===（a1+r1*x）（mod (r1*r2)/gcd）。

最终解出一个答案为b1,循环为a1

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=100000+5;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if (b==0) {x=1;y=0;return a;}
long long now=exgcd(b,a%b,x,y),tmp=x;
x=y;
y=tmp-a/b*x;
return now;
}
int T,n,m,a[10],b[10];
int main()
{
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=0;i<m;i++)
scanf("%d",&a[i]);
for (int j=0;j<m;j++)
scanf("%d",&b[j]);
long long a1,a2,b1,b2,x,y;
int flag=0;
a1=a[0];b1=b[0];
for (int i=1;i<m;i++)
{
a2=a[i];b2=b[i];
long long now=exgcd(a1,a2,x,y);
if ((b2-b1)%now) {flag=1;break;}
long long t=a2/now;
x=(x*(b2-b1))/now;
x=(x%t+t)%t;
b1=a1*x+b1;
a1=(a1*a2)/now;
b1=(b1%a1+a1)%a1;
}
if (flag||n<b1) printf("0\n");
else printf("%d\n",(n-b1)/a1+1-(b1==0?1:0));
}
return 0;
}