【P3927】SAC E#1 - 一道中档题 Factorial（luogu八连刷R1提高组）

其实就是昨天的考试题目的T4，，，，

题目链接

https://www.luogu.org/problem/show?pid=3927

题目描述

SOL君很喜欢阶乘。而SOL菌很喜欢研究进制。

这一天，SOL君跟SOL菌炫技，随口算出了n的阶乘。

SOL菌表示不服，立刻就要算这个数在k进制表示下末尾0的个数。

但是SOL菌太菜了于是请你帮忙。

输入格式：

每组输入仅包含一行：两个整数n，k。

输出格式：

输出一个整数：n!在k进制下后缀0的个数。

输入样例#1：

10 40

输出样例#1：

2

说明

对于20%的数据，n <= 1000000， k = 10

对于另外20%的数据，n <= 20， k <= 36

对于100%的数据，n <= 10^12，k <= 10^12

update

1.一组数据

2.K不会==1

3.现在std没有爆long long

思路：

首先说一下在解释中出现的较重要的名词2333

模除:是我们统计末尾零的方法,先进行模10,看看是否有零,有的话进行除10,没有的话就结束,找完了结尾所有的零

匹配:因为是k进制,进制的规律满足如果是达到这个进制数那么进一位,

因此在阶乘中找到k那么答案就要更新一次

其实这么说也是不全面的,因为k为一个合数的时候不能直接找,

因此我们要对阶乘和k都进行质因数分解,最终在阶乘的因子中找k的因子

方法是如果这些因子%k的一个因子为0,那么将这个因子能产生几个k的这个因子记录下来

六十分中我们巧妙地对阶乘进行质因数分解,将阶乘整体化为阶乘元素来处理,大大加快了我们的实现速度

在六十分基础上进一步分解,将k进行因数分解,枚举范围为2~√n

Q:为什么是√n?

因为另一半可以依据√n中枚举的这一半来推出来

k是已知的枚举i为因子,看看i的情况,那么另一半也在√n内的

而且还不用判素数,

eg:对于4，在枚举2时，已经去除了因子中所有的2，不可能再分解出4来，优化不是一点两点

注意判断最后k剩下的是一个大于根k的质数的情况

这里比较巧妙的是在对k进行一次枚举模除之后

接着在阶乘的所有因子中进行匹配,在n!中k的质因数组合的个数即为末尾0的个数

最终在这些答案里取min即为满足的情况,

这样对于时间最终是(√k+logn)级别左右？

(毕竟一个合数的话要多个因子合成嘛,肯定要取个数最小的那个才满足能够合成这个k )

当然考场上自己能够实现才是关键……

代码如下：

（注意这个是单组）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const long long inf=1e16+8;
long long ans;
long long n,k,cnt1,cnt2;

int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&k);
cnt1=0,cnt2=0;
ans=inf;

long long tmp=sqrt(k)+1;
for(int i=2;i<=tmp;i++){
cnt1=0,cnt2=0;
while(k%i==0){
cnt1++;
k/=i;
}
if(!cnt1) continue;
long long base=i;
while(base<=n){
cnt2+=(n/base);
base*=i;
}
ans=min(ans,cnt2/cnt1);
}
cnt1=0,cnt2=0;
if(k>1){
long long base=k;
while(base<=n){
cnt2+=(n/base);
base*=k;
}
ans=min(ans,cnt2);
}

if(ans==inf) ans=0;

printf("%lld\n",ans);
return 0;
}