UVa11168 - Airport（凸包+点到直线的距离）

题目链接

简介：

找到一条直线，使得所有点在直线的同侧，且到直线的距离之和尽量小

分析:

显然，所求直线不能穿过凸包，也不能与凸包相离，

所以只能与凸包上的边重合，因为凸包上最多有n条边，如果我们能在O(1）的时间内算出所有点到直线的距离之和，这个问题我们就可以在O(n)的时间内解决了

首先我们明确，一个点到直线的距离怎么求

用向量的方法

d=Cross(P-A,B-A)/Len(B-A)

这虽然是新学的操作，但是对于这道题并不适用

解析几何

点到直线的距离：

因为所有点都在直线的同一侧，所有的Ax+By+C符号相同，

所以我们可以直接把分子的绝对值先去掉，加起来之后再取绝对值

|(Ax1+By1+C)+(Ax2+By2+C)+…+(Axn+Byn+C)|

=|A(x1+x2+…+xn)+B(y1+y2+…+yn)+n*C|

这样只要预处理出x，y坐标之和即可

在这里提一句，我们怎么把两个点确定的直线化成Ax+By+C=0 的形式呢

当然是画柿子啦：

tip

最后输出平均距离

刚开始WA一次，看了看题目n>0，又把n=1考虑一下

但是得到的又是WA

于是我就开始对拍啊，发现如果是单组数据，我的程序是对的，

当T>1的时候，我的程序就有WA的几率，

最后才发现是因为输入没有完成的时候，我就特判了n=1和n=2

导致之后的数据会读入错误

//这里写代码片
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;

const double eps=1e-8;
const int N=20010;
int n,sta
;
double A,B,C;
struct node{
double x,y;
node (double xx=0,double yy=0)
{
x=xx;y=yy;
}
};
node po
;

node operator + (const node &a,const node &b){return node(a.x+b.x,a.y+b.y);}
node operator - (const node &a,const node &b){return node(a.x-b.x,a.y-b.y);}
node operator * (const node &a,const double &b){return node(a.x*b,a.y*b);}
node operator / (const node &a,const double &b){return node(a.x/b,a.y/b);}
bool operator < (const node &a,const node &b){return a.x<b.x||(a.x==b.x && a.y<b.y);}
bool operator == (const node &a,const node &b){return a.x==b.x && a.y==b.y;}

double Cross(node x,node y){return x.x*y.y-x.y*y.x;}

int dcmp(double x)
{
if (fabs(x)<eps) return 0;
else if (x>0) return 1;
else return -1;
}

int TuB(int n)
{
sort(po+1,po+1+n);
int top=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
while (top>1&& dcmp( Cross(po[sta[top]]-po[sta[top-1]] , po[i]-po[sta[top-1]]) )<=0) top--;
sta[++top]=i;
}
int k=top;
for (int i=n-1;i>=1;i--)
{
while (top>k&& dcmp( Cross(po[sta[top]]-po[sta[top-1]] , po[i]-po[sta[top-1]]) )<=0) top--;
sta[++top]=i;
}
if (n>1) top--;
return top;
}

void getline(node x,node y)
{
A=x.y-y.y;
B=y.x-x.x;
C=x.x*y.y-x.y*y.x;
return;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
for (int cas=1;cas<=T;cas++)
{
scanf("%d",&n);

double X=0,Y=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lf%lf",&po[i].x,&po[i].y);
X+=po[i].x;
Y+=po[i].y;
}

if (n==2||n==1)
{
printf("Case #%d: 0.000\n",cas);
continue;
}

int m=TuB(n);
double ans=1e16;
sta[0]=sta[m];
for (int i=1;i<=m;i++)
{
getline(po[sta[i-1]],po[sta[i]]);
double a=fabs(A*X+B*Y+n*C)/(sqrt(A*A+B*B));
if (dcmp(ans-a)>0) ans=a;
}

printf("Case #%d: %0.3lf\n",cas,ans/n);
}
return 0;
}