bzoj 4002: [JLOI2015]有意义的字符串（特征根法+矩阵快速幂）

4002: [JLOI2015]有意义的字符串

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Description

 B 君有两个好朋友，他们叫宁宁和冉冉。有一天，冉冉遇到了一个有趣的题目：输入 b;d;n，求

Input

一行三个整数 b;d;n

Output

 一行一个数表示模 7528443412579576937 之后的结果。

Sample Input

1 5 9

Sample Output

76

HINT

其中 0<b^2< = d<(b+1)2< = 10^18,n< = 10^18，并且 b mod 2=1,d mod 4=1

还记不记得斐波那契数列的通项公式



考虑先求



这其实是一个三项递推数列的通项公式，而数列的递推式如下


（可以用特征根法求出这个方程）

有了递推式，矩阵快速幂就搞定了

因为b%2=1, d%4=1，所以b²-d一定是4的倍数

又因为b²<=d<(b+1)²，所以有



因为是向下取整，所以当b²!=d && n%2==0时答案-1

要用unsigned long long

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define mod 7528443412579576937ll
#define LL unsigned long long
typedef struct
{
int i, j;
LL a[4][4];
void init()
{
memset(a, 0, sizeof(a));
}
void unit()
{
memset(a, 0, sizeof(a));
for(i=1;i<=2;i++)
a[i][i] = 1;
}
}Matrix;
Matrix Powto(Matrix p, LL k);
Matrix Jjcf(Matrix p1, Matrix p2);
LL Mul(LL x, LL y)
{
LL ans = 0;
if(x>y)
x = x+y, y = x-y, x = x-y;
x %= mod;
while(y)
{
if(y%2)
ans = (ans+x)%mod;
x = (x+x)%mod;
y /= 2;
}
return ans;
}
int main(void)
{
Matrix Jz;
LL b, d, n, ans;
scanf("%llu%llu%llu", &b, &d, &n);
Jz.init();
Jz.a[1][1] = b, Jz.a[1][2] = (d-b*b)/4;
Jz.a[2][1] = 1;
if(n==0)
ans = 2;
else if(n==1)
ans = b;
else
{
Jz = Powto(Jz, n-1);
ans = (Mul(Jz.a[1][1], b)+Jz.a[1][2]*2)%mod;
}
if(b*b!=d && n%2==0)
ans = (ans-1+mod)%mod;
printf("%llu\n", ans);
return 0;
}
Matrix Powto(Matrix p, LL k)
{
Matrix E;
E.unit();
while(k)
{
if(k%2)
E = Jjcf(E, p);
p = Jjcf(p, p);
k /= 2;
}
return E;
}
Matrix Jjcf(Matrix p1, Matrix p2)
{
Matrix pe;
int i, j, k;
pe.init();
for(i=1;i<=2;i++)
{
for(j=1;j<=2;j++)
{
for(k=1;k<=2;k++)
pe.a[i][j] = (pe.a[i][j]+Mul(p1.a[i][k], p2.a[k][j]))%mod;
}
}
return pe;
}