[容斥 DP] LOJ#6077. 「2017 山东一轮集训 Day7」逆序对

考虑从小到大加入一个数，

加入 i 时会增加大于0小于 i 对逆序对

那么就相当于求 ∑ai=k 的方案数，其中 ai<i

这就是个很经典的背包了——BZOJ2431

但是这题不能用背包来做

考虑容斥。

朴素的容斥要枚举哪些超过限制，这样复杂度是指数级别的，但是很多是有重复的

令 fi,j 表示用 i 个数组成 j 的方案数

gi=∑fi,j×(n+k−j−1n−1)

答案就是 ∑(−1)igi

fi,j可以用旋转体积背包搞

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=200010,P=1e9+7;

int n,k,S;
ll f[510]
,inv
,fac
,a
;

inline ll C(int x,int y){
return fac[x]*inv[y]%P*inv[x-y]%P;
}

int main(){
cin>>n>>k;
S=sqrt(k<<1)+3;
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=S;i++)
for(int j=i;j<=k;j++){
f[i][j]=(f[i][j-i]+f[i-1][j-i])%P;
if(j>n) (f[i][j]-=f[i-1][j-n-1])%=P;
}
fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=1;i<=k+n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%P;
for(int i=2;i<=k+n;i++) inv[i]=1LL*(P-P/i)*inv[P%i]%P;
for(int i=1;i<=k+n;i++) (inv[i]*=inv[i-1])%=P;
ll ans=C(n+k-1,n-1);
for(int i=1;i<=S && i<=n;i++){
ll cur=0;
for(int j=1;j<=k;j++)
(cur+=f[i][j]*C(n+k-j-1,n-1))%=P;
if(i&1) cur=-cur;
(ans+=cur)%=P;
}
cout<<((ans+P)%P)<<endl;
return 0;
}