HDU5579 LCM & 唯一分解定理 & 排列组合
2017-10-14 23:57
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Description
Given two positive integers G and L, could you tell me how many solutions of (x, y, z) there are, satisfying that gcd(x, y, z) = G and lcm(x, y, z) = L?
Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z.
Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.
Input
First line comes an integer T (T <= 12), telling the number of test cases.
The next T lines, each contains two positive 32-bit signed integers, G and L.
It’s guaranteed that each answer will fit in a 32-bit signed integer.
Output
For each test case, print one line with the number of solutions satisfying the conditions above.
Sample Input
2
6 72
7 33
Sample Output
72
0
题目大意:
给你两个数L,G,问你有多少有序数组(x,y,z)满足GCD(x,y,z)=G,LCM(x,y,z)=L,首先如果gcd(x,y,z)=G,
思路分析:
当这样的组合存在的时候,所求与 求gcd(x,y,z)=1且lcm(x,y,z)=L/G的方法数是等价的。
那么:令temp=L/G。
对temp进行素数分解:temp=p1^t1 * p2^t2 * ……* pn^tn。
因为temp是这三个数的倍数,因而x,y,z的组成形式为:
x=p1^i1 * p2^i2 *…… * pn^in;
y=p1^j1 * p2^j2 *…… * pn^jn;
z=p1^k1 * p2^k2 * …… * pn^kn;
对于某一个素因子p:
因为要满足x,y,z的最大公约数为1,即三个数没有共同的素因子,所以min(i,j,k)=0。
又因为要满足x,y,z的最小公倍数为temp,即p^t必然要至少存在一个,所以max(i,j,k)=t。
换言之:至少要有一个p^t,以满足lcm的要求;至多有两个包含p,以满足gcd的要求。
因而基本的组合方式为(0,p^t,p^k),k=0-->t。
而因为(1,2,3)和(2,1,3)是不同的方法,所有满足要求的方法中,除了(0,0,t)和(0,t,t)各有3种排列之外,其余的(0,x,t)(1<=x<=t-1)有6种排列。
对于某一个素因子p总的方法数为6*(t-1)+2*3=6*t。
在根据组合排列的知识,素数与素数之间是分步的关系,因而总的方法数为:6*t1*6*t2*6*t3*...*6*tn
代码:
Given two positive integers G and L, could you tell me how many solutions of (x, y, z) there are, satisfying that gcd(x, y, z) = G and lcm(x, y, z) = L?
Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z.
Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.
Input
First line comes an integer T (T <= 12), telling the number of test cases.
The next T lines, each contains two positive 32-bit signed integers, G and L.
It’s guaranteed that each answer will fit in a 32-bit signed integer.
Output
For each test case, print one line with the number of solutions satisfying the conditions above.
Sample Input
2
6 72
7 33
Sample Output
72
0
题目大意:
给你两个数L,G,问你有多少有序数组(x,y,z)满足GCD(x,y,z)=G,LCM(x,y,z)=L,首先如果gcd(x,y,z)=G,
思路分析:
当这样的组合存在的时候,所求与 求gcd(x,y,z)=1且lcm(x,y,z)=L/G的方法数是等价的。
那么:令temp=L/G。
对temp进行素数分解:temp=p1^t1 * p2^t2 * ……* pn^tn。
因为temp是这三个数的倍数,因而x,y,z的组成形式为:
x=p1^i1 * p2^i2 *…… * pn^in;
y=p1^j1 * p2^j2 *…… * pn^jn;
z=p1^k1 * p2^k2 * …… * pn^kn;
对于某一个素因子p:
因为要满足x,y,z的最大公约数为1,即三个数没有共同的素因子,所以min(i,j,k)=0。
又因为要满足x,y,z的最小公倍数为temp,即p^t必然要至少存在一个,所以max(i,j,k)=t。
换言之:至少要有一个p^t,以满足lcm的要求;至多有两个包含p,以满足gcd的要求。
因而基本的组合方式为(0,p^t,p^k),k=0-->t。
而因为(1,2,3)和(2,1,3)是不同的方法,所有满足要求的方法中,除了(0,0,t)和(0,t,t)各有3种排列之外,其余的(0,x,t)(1<=x<=t-1)有6种排列。
对于某一个素因子p总的方法数为6*(t-1)+2*3=6*t。
在根据组合排列的知识,素数与素数之间是分步的关系,因而总的方法数为:6*t1*6*t2*6*t3*...*6*tn
代码:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <set> using namespace std; typedef long long LL; const int maxn = 2e5; int p[maxn]; int main() { int T; scanf("%d", &T); while(T--) { LL L, G; scanf("%lld%lld", &G, &L); LL temp = L/G; int x = sqrt(temp+0.5); memset(p, 0, sizeof(p)); for(int i = 2; i <= x; i++) { while(temp%i ==0) { temp/=i; p[i]++; } } LL ans; if(temp != 1) ans = 6;//如果L/G本身是素数 else ans = 1; for(int i = 2; i <= x; i++) { if(p[i]) ans *= p[i]*6; } if(L%G) printf("0\n"); else printf("%lld\n", ans); } return 0; }
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