【092】韦达定理在一元n次方程中的推广

准备部分

推论1：已知n是大于1的正整数，x是未知数，xi是常数。

的展开式中，次数最高的项是 xn ，次数第二高的项是

，常数项是

。由于我们最关心这三项，其他项可以在展开式中忽略。即

证明：

用数学归纳法证明。

当n=2，(x - x1)(x - x2) = x2 - (x1 + x2)x + (-1)2x1x2 命题成立。

当n=3，(x - x1)(x - x2)(x - x3) = (x - x3)[x2 - (x1 + x2)x + (-1)2x1x2]

= x[x2 - (x1 + x2)x + (-1)2x1x2] + (-x3)[x2 - (x1 + x2)x + (-1)2x1x2]

= x3 - (x1 + x2)x2 + x1x2x + (- x3)x2 + (x1 + x2)x3x - x1x2x3

= x3 - (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x + (-1)3 x1x2x3

命题成立。

当n=k，假设


当n=k+1，



因为我们只关心次数最高的项、次数第二高的项和常数项，所以把上面的式子合并同类项后，可以像下面这样简略表示：



综上所述可以证明推论1 。

正文

复数范围内，如果一元n次方程 anxn+an-1xn-1+···+a0 = 0 的解是 x1, x2, ···, xn。那么

证明：

代数基本定理：任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。

已知这些解是x1, x2, ···, xn 。那么一元n次方程可以化成如下形式：



根据推论1:



所以xn-1 项系数：



常数项：



若n是偶数，则(-1)n =1，等式

成立。

若n是奇数，则(-1)n =-1，等式

成立。

所以