二分图的最小顶点覆盖 和 最大独立集 和 最大团

最小顶点覆盖

概念: 如果称选了一个点的话， 就覆盖了所有与这点相连的边. 现在要选出最小的点， 来覆盖二分图中所有边.

结论: 最小顶点覆盖 = 二分图最大匹配.

证明: Click

最大独立集

概念: 选出一些点， 使两两之间没有边， 包含顶点数最多的集合称之为最大独立集.

结论: 所有顶点数-最小顶点覆盖.

证明: 因为最小顶点覆盖后。 剩下没匹配的点， 相互之间一定没有边， 否则就可以相连多一条匹配边， 与最大匹配相矛盾. 同时因为最小顶点覆盖已经是最小， 所以剩下的点一定是最大独立集.

最大团

概念: 选出一些点， 使两两之间都有边， 包含顶点数最多的集合称之为最大团.

结论: 所有顶点数-补图里的最小顶点覆盖.

证明: 由于是最大独立集的反概念， 所以在补图中最大团就是最大独立集.

补图就是指原来没边的有边， 原来有边的没边了.