数据结构:二叉查找树(BST)&平衡二叉树(AVL)
2017-10-11 21:55
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本系列博客整理自网络,其中加入部分个人见解,如果你在看到这个系列的博客的时候有似曾相识的感觉,非常正常,主要是用于本人以后学习与复习,参考的原博客的地址我也会在博客前面或后面给出。
二叉查找树(BST)
二叉查找树定义:二叉查找树(Binary Search Tree),又被称为二叉搜索树。设x为二叉查找树中的一个结点,x节点包含关键字key,节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点,则key[y] <= key[x];如果y是x的右子树的一个结点,则key[y] >= key[x]。具有下列特性:
1) 若左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
2) 若右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值;
3) 左、右子树也分别为二叉排序树;
4) 没有键值相等的节点。
二叉查找树的性质:对二叉查找树进行中序遍历,即可得到有序的数列。
二叉查找树的时间复杂度:它和二分查找一样,插入和查找的时间复杂度均为O(logn),但是在最坏的情况下仍然会有O(n)的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候,树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度,这就是平衡查找树设计的初衷。
二叉查找树的高度决定了二叉查找树的查找效率。
二叉查找树的插入过程如下:
1) 若当前的二叉查找树为空,则插入的元素为根节点;
2) 若插入的元素值小于根节点值,则将元素插入到左子树中;
3) 若插入的元素值不小于根节点值,则将元素插入到右子树中。
二叉查找树的删除,分三种情况进行处理:
1) p为叶子节点,直接删除该节点,再修改其父节点的指针(注意分是根节点和不是根节点),如图a;
2) p为单支节点(即只有左子树或右子树)。让p的子树与p的父亲节点相连,删除p即可(注意分是根节点和不是根节点),如图b;
3) p的左子树和右子树均不空。找到p的后继y,因为y一定没有左子树,所以可以删除y,并让y的父亲节点成为y的右子树的父亲节点,并用y的值代替p的值;或者方法二是找到p的前驱x,x一定没有右子树,所以可以删除x,并让x的父亲节点成为y的左子树的父亲节点。如图c。(对于y为什么没有左子树?因为节点的后继是该节点的右子树中的最小节点,而二叉查找树的性质中的一条就是某个节点的左子树上的点都小于这个父节点,所以这个点是不可能存在左子树的。而节点的前驱就是该节点的左子树中的最大节点,所以x一定就没有右子树了。)
平衡二叉树(AVL)
AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。AVL树以其发明者前苏联学者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 名字而命名,他们在1962年的论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。平衡二叉树定义(AVL):它或者是一颗空树,或者具有以下性质的二叉树:它的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1,且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。
平衡因子(bf):结点的左子树的深度减去右子树的深度,那么显然-1<=bf<=1。
很显然,平衡二叉树是在二叉排序树(BST)上引入的,就是为了解决二叉排序树的不平衡性导致时间复杂度大大下降,那么AVL就保持住了(BST)的最好时间复杂度O(logn),所以每次的插入和删除都要确保二叉树的平衡,那么怎么保持平衡呢?
上面的两张图片,左边的是AVL树,它的任何节点的两个子树的高度差别都<=1;而右边的不是AVL树,因为7的两颗子树的高度相差为2(以2为根节点的树的高度是3,而以8为根节点的树的高度是1)。
如果在AVL树中插入或删除节点后,使得高度之差大于1。此时,AVL树的平衡状态就被破坏,它就不再是一棵二叉树;为了让它重新维持在一个平衡状态,就需要对其进行旋转处理。学AVL树,重点的地方也就是它的旋转算法;在后文的介绍中,再来对它进行详细介绍。
还有一个概念需要我们知道!最小不平衡子树的根节点:当我们进行插入操作的时,找到该需要插入结点的位置并插入后,从该节点起向上寻找,第一个不平衡的结点即平衡因子bf变为-2或2的点。为什么需要引入这个概念呢?,因为在插入时,对该子树进行保持平衡操作后,其它的结点的平衡因子不会变,也就是整棵树又恢复平衡了。
为什么呢?
一个不平衡点的bf一定是-2或2吧,经过平衡操作后,他会把一边子树的一个结点分给另一边的子树,也就是一边的深度分给另一边,这样就平衡了!
比如,插入前:左边是深度1,右边深度是0;插入后左边深度是2,右边深度是0,经过平衡后左边深度是1,右边深度是1;那么你说插入前和插入后该根结点所领导的子树的深度变没??仍是1,显然没变!那么就仍保持了这棵树的平衡了!
AVL树的C实现
节点的定义
typedef int Type; typedef struct AVLTreeNode{ Type key; // 关键字(键值) int height; struct AVLTreeNode *left; // 左孩子 struct AVLTreeNode *right; // 右孩子 }Node, *AVLTree;
AVL树的节点包括的几个组成对象:
(01) key -- 是关键字,是用来对AVL树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
(04) height -- 是高度。
节点的创建
/* * 创建AVL树结点。 * * 参数说明: * key 是键值。 * left 是左孩子。 * right 是右孩子。 */ static Node* avltree_create_node(Type key, Node *left, Node* right) { Node* p; if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL) return NULL; p->key = key; p->height = 0; p->left = left; p->right = right; return p; }
树的高度
#define HEIGHT(p) ( (p==NULL) ? 0 : (((Node *)(p))->height) ) /* * 获取AVL树的高度 */ int avltree_height(AVLTree tree) { return HEIGHT(tree); }
关于高度,有的文章中将"空二叉树的高度定义为-1",而本文采用维基百科上的定义:树的高度为最大层次。即空的二叉树的高度是0,非空树的高度等于它的最大层次(根的层次为1,根的子节点为第2层,依次类推)。
比较大小
#define MAX(a, b) ( (a) > (b) ? (a) : (b) )
旋转
前面说过,如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。这种失去平衡的可以概括为4种姿态:LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)。下面给出它们的示意图:上图中的4棵树都是"失去平衡的AVL树",从左往右的情况依次是:LL、LR、RL、RR。除了上面的情况之外,还有其它的失去平衡的AVL树,如下图:
上面的两张图都是为了便于理解,而列举的关于"失去平衡的AVL树"的例子。总的来说,AVL树失去平衡时的情况一定是LL、LR、RL、RR这4种之一,它们都由各自的定义:
(1)
LL:LeftLeft,也称为"左左"。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的左子树还有非空子节点,导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面LL情况中,由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(2)还有非空子节点",而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点";导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。
(2)LR:LeftRight,也称为"左右"。插入或删除一个节点后,根节点的左子树的右子树还有非空子节点,导致"根的左子树的高度"比"根的右子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面LR情况中,由于"根节点(8)的左子树(4)的左子树(6)还有非空子节点",而"根节点(8)的右子树(12)没有子节点";导致"根节点(8)的左子树(4)高度"比"根节点(8)的右子树(12)"高2。
(3)RL:RightLeft,称为"右左"。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的左子树还有非空子节点,导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面RL情况中,由于"根节点(8)的右子树(12)的左子树(10)还有非空子节点",而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点";导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。
(4)RR:RightRight,称为"右右"。插入或删除一个节点后,根节点的右子树的右子树还有非空子节点,导致"根的右子树的高度"比"根的左子树的高度"大2,导致AVL树失去了平衡。
例如,在上面RR情况中,由于"根节点(8)的右子树(12)的右子树(14)还有非空子节点",而"根节点(8)的左子树(4)没有子节点";导致"根节点(8)的右子树(12)高度"比"根节点(8)的左子树(4)"高2。
前面说过,如果在AVL树中进行插入或删除节点后,可能导致AVL树失去平衡。AVL失去平衡之后,可以通过旋转使其恢复平衡,下面分别介绍"LL(左左),LR(左右),RR(右右)和RL(右左)"这4种情况对应的旋转方法。
LL的旋转(其实就是顺时针旋转)
LL失去平衡的情况,可以通过一次旋转让AVL树恢复平衡。如下图:
图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。从中可以发现,旋转之后的树又变成了AVL树,而且该旋转只需要一次即可完成。
对于LL旋转,你可以这样理解为:LL旋转是围绕"失去平衡的AVL根节点"进行的,也就是节点k2;而且由于是LL情况,即左左情况,就用手抓着"左孩子,即k1"顺时针旋转。将k1变成根节点,k2变成k1的右子树,"k1的右子树"变成"k2的左子树"。
/* * LL:左左对应的情况(左单旋转)。 * * 返回值:旋转后的根节点 */ static Node* left_left_rotation(AVLTree k2) { AVLTree k1; k1 = k2->left; k2->left = k1->right; k1->right = k2; k2->height = MAX( HEIGHT(k2->left), HEIGHT(k2->right)) + 1; k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), k2->height) + 1; return k1; }
RR的旋转(其实就是逆时针旋转)
理解了LL之后,RR就相当容易理解了。RR是与LL对称的情况!RR恢复平衡的旋转方法如下:
图中左边是旋转之前的树,右边是旋转之后的树。RR旋转也只需要一次即可完成。
/* * RR:右右对应的情况(右单旋转)。 * * 返回值:旋转后的根节点 */ static Node* right_right_rotation(AVLTree k1) { AVLTree k2; k2 = k1->right; k1->right = k2->left; k2->left = k1; k1->height = MAX( HEIGHT(k1->left), HEIGHT(k1->right)) + 1; k2->height = MAX( HEIGHT(k2->right), k1->height) + 1; return k2; }
LR的旋转
LR失去平衡的情况,需要经过两次旋转才能让AVL树恢复平衡。如下图:
第一次旋转是围绕"k1"进行的"RR旋转",第二次是围绕"k3"进行的"LL旋转"。
/* * LR:左右对应的情况(左双旋转)。 * * 返回值:旋转后的根节点 */ static Node* left_right_rotation(AVLTree k3) { k3->left = right_right_rotation(k3->left); return left_left_rotation(k3); }
RL的旋转
RL是与LR的对称情况!RL恢复平衡的旋转方法如下:
第一次旋转是围绕"k3"进行的"LL旋转",第二次是围绕"k1"进行的"RR旋转"。
/* * RL:右左对应的情况(右双旋转)。 * * 返回值:旋转后的根节点 */ static Node* right_left_rotation(AVLTree k1) { k1->right = left_left_rotation(k1->right); return right_right_rotation(k1); }
插入
/* * 将结点插入到AVL树中,并返回根节点 * * 参数说明: * tree AVL树的根结点 * key 插入的结点的键值 * 返回值: * 根节点 */ Node* avltree_insert(AVLTree tree, Type key) { if (tree == NULL) { // 新建节点 tree = avltree_create_node(key, NULL, NULL); if (tree==NULL) { printf("ERROR: create avltree node failed!\n"); return NULL; } } else if (key < tree->key) // 应该将key插入到"tree的左子树"的情况 { tree->left = avltree_insert(tree->left, key); // 插入节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。 if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2) { if (key < tree->left->key) tree = left_left_rotation(tree); else tree = left_right_rotation(tree); } } else if (key > tree->key) // 应该将key插入到"tree的右子树"的情况 { tree->right = avltree_insert(tree->right, key); // 插入节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。 if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2) { if (key > tree->right->key) tree = right_right_rotation(tree); else tree = right_left_rotation(tree); } } else //key == tree->key) { printf("添加失败:不允许添加相同的节点!\n"); } tree->height = MAX( HEIGHT(tree->left), HEIGHT(tree->right)) + 1; return tree; }
删除
/* * 删除结点(z),返回根节点 * * 参数说明: * ptree AVL树的根结点 * z 待删除的结点 * 返回值: * 根节点 */ static Node* delete_node(AVLTree tree, Node *z) { // 根为空 或者 没有要删除的节点,直接返回NULL。 if (tree==NULL || z==NULL) return NULL; if (z->key < tree->key) // 待删除的节点在"tree的左子树"中 { tree->left = delete_node(tree->left, z); // 删除节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。 if (HEIGHT(tree->right) - HEIGHT(tree->left) == 2) { Node *r = tree->right; if (HEIGHT(r->left) > HEIGHT(r->right)) tree = right_left_rotation(tree); else tree = right_right_rotation(tree); } } else if (z->key > tree->key)// 待删除的节点在"tree的右子树"中 { tree->right = delete_node(tree->right, z); // 删除节点后,若AVL树失去平衡,则进行相应的调节。 if (HEIGHT(tree->left) - HEIGHT(tree->right) == 2) { Node *l = tree->left; if (HEIGHT(l->right) > HEIGHT(l->left)) tree = left_right_rotation(tree); else tree = left_left_rotation(tree); } } else // tree是对应要删除的节点。 { // tree的左右孩子都非空 if ((tree->left) && (tree->right)) { if (HEIGHT(tree->left) > HEIGHT(tree->right)) { // 如果tree的左子树比右子树高; // 则(01)找出tree的左子树中的最大节点 // (02)将该最大节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最大节点。 // 这类似于用"tree的左子树中最大节点"做"tree"的替身; // 采用这种方式的好处是:删除"tree的左子树中最大节点"之后,AVL树仍然是平衡的。 Node *max = avltree_maximum(tree->left); tree->key = max->key; tree->left = delete_node(tree->left, max); } else { // 如果tree的左子树不比右子树高(即它们相等,或右子树比左子树高1) // 则(01)找出tree的右子树中的最小节点 // (02)将该最小节点的值赋值给tree。 // (03)删除该最小节点。 // 这类似于用"tree的右子树中最小节点"做"tree"的替身; // 采用这种方式的好处是:删除"tree的右子树中最小节点"之后,AVL树仍然是平衡的。 Node *min = avltree_maximum(tree->right); tree->key = min->key; tree->right = delete_node(tree->right, min); } } else { Node *tmp = tree; tree = tree->left ? tree->left : tree->right; free(tmp); } } return tree; } /* * 删除结点(key是节点值),返回根节点 * * 参数说明: * tree AVL树的根结点 * key 待删除的结点的键值 * 返回值: * 根节点 */ Node* avltree_delete(AVLTree tree, Type key) { Node *z; if ((z = avltree_search(tree, key)) != NULL) tree = delete_node(tree, z); return tree; }
参考博客:
http://www.cnblogs.com/fornever/archive/2011/11/15/2249492.html
http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3576969.html
http://www.cnblogs.com/maybe2030/p/4732377.html
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