算法导论（第三版）练习 2.1-1 ~ 2.1-4

2.1-1

(ａ) 31 - 【41】 - 59 - 26 - 41 - 58

(ｂ) 31 - 41 - 【59】 - 26 - 41 - 58

(ｃ) 31 - 41 - 59 - 【26】 - 41 - 58 ( 31、41、59 右移一个位置，在原 31 的位置插入 26)

(ｄ) 26 - 31 - 41 - 59 - 【41】 - 58 ( 59 右移一个位置，在原 59 的位置插入 41)

(ｅ) 26 - 31 - 41 - 41 - 59 - 【58】 ( 59 右移一个位置，在原 59 的位置插入 58)

(ｆ) 26 - 31 - 41 - 41 - 58 - 59

“【】” 中的数字被临时存储在 key 中。

2.1-2

INSERTION-SORT(A)
for j = 2 to A.length
key = A[j]
i = j - 1
while i > 0 and A[i] < key
A[i+1] = A[i]
i = i - 1
A[i+1] = key

2.1-3

// We use loop invariants to help us understand why an algorithm is correct.

尝试证明一下，也许是错的！

初始化：证明第一次迭代之前循环不变式成立。当输入规模为 1 （数组长度），数组仅由单个元素 A[1] 组成，经过一次相等判断后，输出要么取 i = 1（这个数恰好等于 v），要么取 v = NIL （这个数不为 v ），循环不变式成立。

保持：证明每次迭代保持循环不变式。假设输入规模为 n 时循环不变式成立，即要么在数组 n 中取到了下标 i （A[i] == v），要么就没有找到（ v = NIL）。那么再增加一个元素，令规模为 n+1 ，容易知道，规模 n 既然成立（可以得到一个有用的性质、结论），规模 n+1 至多增加一次相等判断（也就是在原数组中没取到 i 的情况），最终也能获得有用的结论。故迭代（这里指规模+1）将保持循环不变式。

终止：最后研究循环终止时发生了什么。导致迭代终止的条件是 i > A.length=n 或者取到了下标 i ，倘若是前者那么令 v = NIL，这个时候已经得到了有用的结论，所以算法正确。

2.1-4

输入：长度均为 n 的数组 A、B，分别存储一个 n 位的二进制整数。（最高位必须是 1，其它位为 0 或者 1）

输出：长度为 n+1 的数组 C，存储 A 与 B 存储的二进制整数之和。

伪代码：

ADD(A, B, C)
for k = 1 to A.length
C[k] = A[k] + B[k]
if C[k] >= 2
C[k+1] = C[k+1] + 1
C[k] = C[k] - 2

这个算法的正确性也可以用循环不变式理解。